ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 52 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) x^2/(x-2) > =0;

б) (x+2)/(x-4)^2 > =0.

а)

$$\frac{x^2}{x-2} \geq 0;$$

Первое значение:

$$x^2 = 0; \\ x = 0;$$

Второе значение:

$$x — 2 > 0; \\ x > 2;$$

Ответ:

$$x \in 0 \cup (2; +\infty).$$

б)

$$\frac{x+2}{(x-4)^2} \geq 0;$$

Первое значение:

$$x + 2 \geq 0; \\ x \geq -2;$$

Второе значение:

$$(x-4)^2 \neq 0; \\ x — 4 \neq 0; \\ x \neq 4;$$

Ответ:

$$x \in [-2; 4) \cup (4; +\infty).$$

а)

Решить неравенство:

$$\frac{x^2}{x — 2} \geq 0$$

Шаг 1: Область допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель $x — 2$ не должен быть равен нулю, потому что делить на ноль нельзя.

$$x — 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$$

Шаг 2: Анализ числителя $x^2$

$$x^2 \geq 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R}$$

$x^2 = 0$ при $x = 0$,
$x^2 > 0$ при $x \neq 0$

Шаг 3: Анализ знака выражения $\frac{x^2}{x — 2}$

Дробь $\frac{x^2}{x — 2}$ будет:

• $= 0$, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю;
• $> 0$, если числитель положительный и знаменатель положительный;
• $< 0$, если числитель положительный, а знаменатель отрицательный.

Шаг 4: Найдём нулевые точки числителя и знаменателя

• $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$
• $x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ — точка выколотая (в ОДЗ запрещено)

Шаг 5: Метод интервалов

Рассмотрим интервалы, на которых меняется знак дроби, по ключевым точкам $x = 0$ и $x = 2$:

Интервалы:

1. $x < 0$
2. $0 < x < 2$
3. $x > 2$

Рассмотрим каждый интервал:

Интервал 1: $x < 0$

Выберем тестовую точку, например $x = -1$

$$\frac{x^2}{x — 2} = \frac{(-1)^2}{-1 — 2} = \frac{1}{-3} < 0$$

Значит, не входит в решение.

Интервал 2: $0 < x < 2$

Возьмем $x = 1$

$$\frac{1^2}{1 — 2} = \frac{1}{-1} = -1 < 0$$

Также не входит в решение.

Интервал 3: $x > 2$

Возьмем $x = 3$

$$\frac{3^2}{3 — 2} = \frac{9}{1} = 9 > 0$$

Подходит

Шаг 6: Отдельно рассмотрим точку $x = 0$

При $x = 0$:

$$\frac{0^2}{0 — 2} = \frac{0}{-2} = 0$$

А у нас неравенство $\geq 0$, значит:

$$x = 0 \quad \text{входит в решение}$$

Шаг 7: Итоговое решение

Объединяем всё:

• $x = 0$ — включаем;
• $x > 2$ — включаем;
• $x = 2$ — исключаем (деление на ноль запрещено).

Ответ:

$$x \in \{0\} \cup (2;\ +\infty)$$

б)

Решить неравенство:

$$\frac{x + 2}{(x — 4)^2} \geq 0$$

Шаг 1: ОДЗ

Нельзя делить на 0:

$$(x — 4)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$$

Шаг 2: Свойства знаменателя

Поскольку $(x — 4)^2$ — квадрат выражения, он всегда положительный, кроме точки $x = 4$, где он равен 0 (и мы её исключили).

Значит:

$$(x — 4)^2 > 0 \quad \text{при } x \neq 4$$

Шаг 3: Теперь решаем основное неравенство

Итак, знаменатель всегда положительный (кроме $x = 4$). Тогда знак всей дроби определяется только числителем $x + 2$.

$$\frac{x + 2}{(x — 4)^2} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x + 2 \geq 0$$

Шаг 4: Решим неравенство числителя

$$x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$$

Шаг 5: Учитываем ОДЗ (исключаем $x = 4$)

Хотя при $x = 4$ числитель равен $4 + 2 = 6 > 0$, но знаменатель обращается в ноль:

$$(x — 4)^2 = 0 \Rightarrow \text{деление на ноль запрещено}$$

Значит, $x = 4$ не входит в решение, несмотря на знак.

Шаг 6: Итоговое решение

• $x \geq -2$,
• Исключаем точку $x = 4$

Ответ:

$$x \in [-2;\ 4) \cup (4;\ +\infty)$$

Итоговые ответы:

а) $x \in \{0\} \cup (2;\ +\infty)$

б) $x \in [-2;\ 4) \cup (4;\ +\infty)$