ГДЗ по Алгебре 10 Класс Профильный Уровень Задачник 📕 Мордкович — Все Части

Алгебра

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Обзор задачника «Алгебра. 10 класс» Мордкович (Профильный уровень)

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Особенности задачника

Одной из главных особенностей задачника является его структурированность и ориентация на постепенное усложнение материала. Учебник позволяет ученикам не только закрепить базовые знания, но и развить аналитическое мышление за счёт решения сложных задач.

Авторы уделяют большое внимание логике изложения: каждый новый раздел начинается с теоретической части, где подробно объясняются основные понятия и методы, а затем следуют задания с возрастающим уровнем сложности. Это делает процесс обучения комфортным и последовательным.

Преимущества

Разнообразие заданийВ задачнике представлены задачи разного уровня сложности — от базовых до олимпиадных. Это позволяет использовать книгу как для текущей учёбы, так и для подготовки к экзаменам.
Пошаговое обучениеМатериал изложен таким образом, что каждый новый раздел основывается на ранее изученном. Это помогает ученикам лучше усваивать сложные темы.
Практическая направленностьЗадачи часто связаны с реальными примерами, что делает процесс обучения более интересным и прикладным.
Подготовка к ЕГЭКнига идеально подходит для подготовки к профильной части Единого государственного экзамена по математике, так как включает задания, аналогичные тем, что встречаются на экзамене.
Дополнительные материалыВ конце книги часто можно найти ответы или указания к решению сложных задач, что помогает ученикам проверять себя и понимать ошибки.

Недостатки

Несмотря на множество плюсов, у задачника есть и свои минусы. Например, некоторые темы могут быть изложены слишком кратко, что требует от ученика дополнительных усилий для понимания. Также сложные задачи без подробных решений могут вызывать трудности у тех, кто изучает материал самостоятельно.

Итог

Задачник Мордковича — это отличный выбор для школьников, которые хотят углубить свои знания по алгебре и успешно подготовиться к экзаменам. Книга сочетает в себе доступность, логичность и разнообразие заданий, что делает её универсальным инструментом для обучения.

Если вы ищете учебное пособие, которое поможет вам освоить сложные темы алгебры, этот задачник — именно то, что нужно!

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 97 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Решите графически систему уравнений:

а)

${\begin{cases} y = - 0, 5 x^{2} + 2 x + 1 \\ y = \frac{5}{x + 1} \end{cases}$

б)

${\begin{cases} y = - \frac{6}{x} + 1 \\ y = x^{2} - 2 x - 4 \end{cases}$

Краткий ответ:

а)

${\begin{cases} y = - 0, 5 x^{2} + 2 x + 1 \\ y = \frac{5}{x + 1} \end{cases}$

$y = - 0, 5 x^{2} + 2 x + 1$ — уравнение параболы:

$x_{0} = - \frac{2}{- 0, 5 \cdot 2} = 2 и y_{0} = 3$

$x$	$- 2$	$0$	$4$	$6$
$y$	$- 5$	$1$	$1$	$- 5$

$y = \frac{5}{x + 1}$ — уравнение гиперболы:

$x_{0} = - 1 и y_{0} = 0$

$x$	$- 6$	$- 2$	$0$	$4$
$y$	$- 1$	$- 5$	$5$	$1$

Графики функций:

Ответ: $(1; 2, 5)$ ; $(4; 1)$ .

б)

${\begin{cases} y = - \frac{6}{x} + 1 \\ y = x^{2} - 2 x - 4 \end{cases}$

$y = - \frac{6}{x} + 1$ — уравнение гиперболы:

$x_{0} = 0 и y_{0} = 1$

$x$	$- 6$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$6$
$y$	$2$	$4$	$7$	$- 5$	$- 2$	$0$

$y = x^{2} - 2 x - 4$ — уравнение параболы:

$x_{0} = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = 1 и y_{0} = - 5$

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$2$	$3$	$4$
$y$	$4$	$- 1$	$- 4$	$- 4$	$- 1$	$4$

Графики функций:

Ответ: $(- 2; 4)$ ; $(1; - 5)$ ; $(3; - 1)$ .

Подробный ответ:

а) $y = - 0, 5 x^{2} + 2 x + 1$ и $y = \frac{5}{x + 1}$

Мы рассматриваем систему из двух функций: параболы и гиперболы. Нужно найти важные моменты, такие как уравнение асимптот, координаты вершины параболы, значения функций в ключевых точках, и, наконец, пересечение графиков этих функций.

1) Парабола $y = - 0, 5 x^{2} + 2 x + 1$

a) Вершина параболы:

Парабола в форме $y = a x^{2} + b x + c$ , где $a = - 0, 5$ , $b = 2$ и $c = 1$ , имеет вершину, которая находится в точке $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .

Подставляем значения $a$ и $b$ :

$x_{0} = - \frac{2}{2 \cdot (- 0, 5)} = \frac{2}{1} = 2.$

Теперь найдем значение функции в этой точке. Подставляем $x_{0} = 2$ в уравнение параболы:

$y_{0} = - 0, 5 (2)^{2} + 2 (2) + 1 = - 0, 5 \cdot 4 + 4 + 1 = - 2 + 4 + 1 = 3.$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 3)$ .

b) Таблица значений функции $y = - 0, 5 x^{2} + 2 x + 1$ :

Чтобы изучить поведение функции, вычислим значения функции для различных значений $x$ .

$x$	$- 2$	$0$	$4$	$6$
$y$	$- 5$	$1$	$1$	$- 5$

Для $x = - 2$ :

$y (- 2) = - 0, 5 (- 2)^{2} + 2 (- 2) + 1 = - 0, 5 \cdot 4 - 4 + 1 = - 2 - 4 + 1 = - 5.$

Для $x = 0$ :

$y (0) = - 0, 5 (0)^{2} + 2 (0) + 1 = 1.$

Для $x = 4$ :

$y (4) = - 0, 5 (4)^{2} + 2 (4) + 1 = - 0, 5 \cdot 16 + 8 + 1 = - 8 + 8 + 1 = 1.$

Для $x = 6$ :

$y (6) = - 0, 5 (6)^{2} + 2 (6) + 1 = - 0, 5 \cdot 36 + 12 + 1 = - 18 + 12 + 1 = - 5.$

Ответ: Вершина параболы — $(2, 3)$ .

2) Гипербола $y = \frac{5}{x + 1}$

a) Асимптоты гиперболы:

График функции $y = \frac{5}{x + 1}$ имеет две асимптоты:

Вертикальная асимптота при $x = - 1$ , так как дробь стремится к бесконечности при $x \to - 1$ .
Горизонтальная асимптота при $y = 0$ , так как $\frac{5}{x + 1} \to 0$ при $x \to \pm \infty$ .

Ответ: Уравнения асимптот гиперболы:

$x = - 1 и y = 0.$

b) Таблица значений функции $y = \frac{5}{x + 1}$ :

Вычислим несколько значений функции на разных точках:

$x$	$- 6$	$- 2$	$0$	$4$
$y$	$- 1$	$- 5$	$5$	$1$

Для $x = - 6$ :

$y (- 6) = \frac{5}{- 6 + 1} = \frac{5}{- 5} = - 1.$

Для $x = - 2$ :

$y (- 2) = \frac{5}{- 2 + 1} = \frac{5}{- 1} = - 5.$

Для $x = 0$ :

$y (0) = \frac{5}{0 + 1} = \frac{5}{1} = 5.$

Для $x = 4$ :

$y (4) = \frac{5}{4 + 1} = \frac{5}{5} = 1.$

Ответ: Асимптоты гиперболы $x = - 1$ и $y = 0$ .

3) Пересечение графиков функций:

Нам нужно найти точки пересечения графиков параболы и гиперболы. Для этого приравняем их уравнения:

$- 0, 5 x^{2} + 2 x + 1 = \frac{5}{x + 1} .$

Умножим обе части на $(x + 1)$ , чтобы избавиться от дроби:

$(x + 1) (- 0, 5 x^{2} + 2 x + 1) = 5.$

Раскроем скобки:

$- 0, 5 x^{3} + 2 x^{2} + x - 0, 5 x^{2} + 2 x + 1 = 5.$

Упростим:

$- 0, 5 x^{3} + 1, 5 x^{2} + 3 x + 1 = 5.$

Переносим все на одну сторону:

$- 0, 5 x^{3} + 1, 5 x^{2} + 3 x - 4 = 0.$

Это кубическое уравнение, которое можно решить численно или методом подбора. Предположим, что $x = 1$ — это одно из решений, так как для $x = 1$ :

$- 0, 5 (1)^{3} + 1, 5 (1)^{2} + 3 (1) - 4 = 0.$

Таким образом, $x = 1$ — это одно из решений. Теперь подставим $x = 1$ в исходные уравнения для вычисления $y$ :

Для параболы $y = - 0, 5 (1)^{2} + 2 (1) + 1 = - 0, 5 + 2 + 1 = 2, 5$ .
Для гиперболы $y = \frac{5}{1 + 1} = \frac{5}{2} = 2, 5$ .

Таким образом, точка пересечения — $(1; 2, 5)$ .

Теперь рассмотрим второе возможное решение для гиперболы и параболы. Подставим $x = 4$ в оба уравнения:

Для параболы $y = - 0, 5 (4)^{2} + 2 (4) + 1 = - 0, 5 \cdot 16 + 8 + 1 = - 8 + 8 + 1 = 1$ .
Для гиперболы $y = \frac{5}{4 + 1} = \frac{5}{5} = 1$ .

Таким образом, вторая точка пересечения — $(4; 1)$ .

Ответ: Точки пересечения: $(1; 2, 5)$ и $(4; 1)$ .

б) $y = - \frac{6}{x} + 1$ и $y = x^{2} - 2 x - 4$

1) Гипербола $y = - \frac{6}{x} + 1$

a) Асимптоты гиперболы:

Гипербола $y = - \frac{6}{x} + 1$ имеет:

Вертикальную асимптоту при $x = 0$ ,
Горизонтальную асимптоту при $y = 1$ , так как $\frac{6}{x} \to 0$ при $x \to \pm \infty$ .

Ответ: Уравнения асимптот гиперболы:

$x = 0 и y = 1.$

b) Таблица значений функции $y = - \frac{6}{x} + 1$ :

$x$	$- 6$	$- 2$	$- 1$	$1$	$2$	$6$
$y$	$2$	$4$	$7$	$- 5$	$- 2$	$0$

2) Парабола $y = x^{2} - 2 x - 4$

a) Вершина параболы:

Для параболы $y = x^{2} - 2 x - 4$ находим вершину. Используем формулу для абсциссы вершины $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ , где $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = - 4$ :

$x_{0} = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = 1.$

Теперь найдем значение функции в точке $x_{0} = 1$ :

$y_{0} = (1)^{2} - 2 (1) - 4 = 1 - 2 - 4 = - 5.$

Таким образом, вершина параболы — это точка $(1, - 5)$ .

b) Таблица значений функции $y = x^{2} - 2 x - 4$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$2$	$3$	$4$
$y$	$4$	$- 1$	$- 4$	$- 4$	$- 1$	$4$

3) Пересечение графиков функций:

Для нахождения точек пересечения приравняем уравнения:

$- \frac{6}{x} + 1 = x^{2} - 2 x - 4.$

Умножим обе части на $x$ , чтобы избавиться от дроби:

$- 6 + x = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x .$

Переносим все на одну сторону:

$x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0.$

Решим это уравнение методом подбора или численно. Получаем решения: $x = - 2$ , $x = 1$ , $x = 3$ .

Подставим найденные значения $x$ в уравнения для нахождения $y$ :

Для $x = - 2$ :

$y = (- 2)^{2} - 2 (- 2) - 4 = 4 + 4 - 4 = 4.$

Для $x = 1$ :

$y = (1)^{2} - 2 (1) - 4 = 1 - 2 - 4 = - 5.$

Для $x = 3$ :

$y = (3)^{2} - 2 (3) - 4 = 9 - 6 - 4 = - 1.$

Ответ: Точки пересечения: $(- 2, 4)$ , $(1, - 5)$ , $(3, - 1)$ .

Итоговый ответ:

а) Точки пересечения: $(1; 2, 5)$ , $(4; 1)$ .

б) Точки пересечения: $(- 2; 4)$ , $(1; - 5)$ , $(3; - 1)$ .

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра

Общая оценка

4.9 / 5

Комментарии

Другие предметы

Алгебра

10-10 класс