ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 95 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Функция задана формулой:

а) $y=\frac{1}{x}+4$

б) $y=-\frac{4}{x-3}+5$

в) $y=-\frac{2}{x-5}$

г) $y=\frac{3}{x+1}-2$

Не выполняя построения графика, найдите:

1) область определения функции;

2) множество значений функции;

3) промежутки монотонности функции;

4) координаты центра симметрии гиперболы;

5) асимптоты гиперболы.

а) $y=\frac{1}{x}+4$

Область определения: $x\mathrm{\ne }0$;

Множество значений: $y\mathrm{\ne }4$;

Промежутки монотонности:

• Убывает на $(-\mathrm{\infty };0)\cup (0;+\mathrm{\infty })$;

Координаты центра симметрии гиперболы:

• $x=0$ и $y=4$;

Уравнения асимптот гиперболы:

• $x=0$ и $y=4$;

б) $y=-\frac{4}{x-3}+5$

Область определения: $x\mathrm{\ne }3$;

Множество значений: $y\mathrm{\ne }5$;

Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(-\mathrm{\infty };3)\cup (3;+\mathrm{\infty })$;

Координаты центра симметрии гиперболы:

• $x=3$ и $y=5$;

Уравнения асимптот гиперболы:

• $x=3$ и $y=5$;

в) $y=-\frac{2}{x-5}$

Область определения: $x\mathrm{\ne }5$;

Множество значений: $y\mathrm{\ne }0$;

Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(-\mathrm{\infty };5)\cup (5;+\mathrm{\infty })$;

Координаты центра симметрии гиперболы:

• $x=5$ и $y=0$;

Уравнения асимптот гиперболы:

• $x=5$ и $y=0$;

г) $y=\frac{3}{x+1}-2$

Область определения: $x\mathrm{\ne }-1$;

Множество значений: $y\mathrm{\ne }-2$;

Промежутки монотонности:

• Убывает на $(-\mathrm{\infty };-1)\cup (-1;+\mathrm{\infty })$;

Координаты центра симметрии гиперболы:

• $x=-1$ и $y=-2$;

Уравнения асимптот гиперболы:

• $x=-1$ и $y=-2$

а) $y=\frac{1}{x}+4$

1) Область определения:

Функция $y=\frac{1}{x}+4$ состоит из дробной части, где знаменатель $x$ не может быть равен нулю, потому что деление на ноль невозможно. Таким образом, область определения функции:

$$x\mathrm{\ne }0$$

Ответ: Область определения: $x\mathrm{\ne }0$.

2) Множество значений:

Чтобы найти множество значений, исследуем поведение функции. Когда $x\to +\mathrm{\infty }$ или $x\to -\mathrm{\infty }$, дробная часть $\frac{1}{x}$ стремится к нулю. Таким образом, при больших значениях $x$ функция приближается к значению $y=4$, но никогда не достигает этого значения.

Также, когда $x\to 0^{+}$ или $x\to 0^{-}$, дробная часть $\frac{1}{x}$ стремится к бесконечности. Поэтому функция $y$ может принимать все значения, кроме 4.

Ответ: Множество значений: $y\mathrm{\ne }4$.

3) Промежутки монотонности:

Функция $y=\frac{1}{x}+4$ представляет собой гиперболу, которая убывает на обоих промежутках, то есть на $(-\mathrm{\infty };0)$ и $(0;+\mathrm{\infty })$, поскольку $\frac{1}{x}$ убывает в этих интервалах (при $x>0$ и $x<0$).

Ответ: Промежутки монотонности:

• Убывает на $(-\mathrm{\infty };0)\cup (0;+\mathrm{\infty })$.

4) Координаты центра симметрии гиперболы:

Гипербола функции $y=\frac{1}{x}+4$ имеет центр симметрии в точке пересечения асимптот. Асимптоты гиперболы — это прямые, к которым приближается график функции при стремлении $x\to \pm \mathrm{\infty }$. В данном случае асимптоты — это:

• вертикальная асимптота $x=0$,
• горизонтальная асимптота $y=4$.

График функции будет симметричен относительно точки $(0,4)$, которая является центром симметрии гиперболы.

Ответ: Координаты центра симметрии гиперболы: $x=0$ и $y=4$.

5) Уравнения асимптот гиперболы:

Как мы уже выяснили, у гиперболы $y=\frac{1}{x}+4$ есть две асимптоты:

• вертикальная асимптота: $x=0$, потому что функция стремится к бесконечности при $x\to 0$,
• горизонтальная асимптота: $y=4$, потому что $\frac{1}{x}\to 0$ при $x\to \pm \mathrm{\infty }$, и тогда $y\to 4$.

Ответ: Уравнения асимптот гиперболы:

• $x=0$ и $y=4$.

б) $y=-\frac{4}{x-3}+5$

1) Область определения:

Функция $y=-\frac{4}{x-3}+5$ также имеет дробную часть, где знаменатель $x-3$ не может быть равен нулю. Поэтому, чтобы избежать деления на ноль, область определения будет:

$$x\mathrm{\ne }3$$

Ответ: Область определения: $x\mathrm{\ne }3$.

2) Множество значений:

Функция $y=-\frac{4}{x-3}+5$ является гиперболой с вертикальной асимптотой $x=3$ и горизонтальной асимптотой $y=5$, так как $-\frac{4}{x-3}\to 0$ при $x\to \pm \mathrm{\infty }$.

Таким образом, $y$ может принимать все значения, кроме $y=5$, поскольку график стремится к этой горизонтальной асимптоте, но не пересекает её.

Ответ: Множество значений: $y\mathrm{\ne }5$.

3) Промежутки монотонности:

График функции $y=-\frac{4}{x-3}+5$ представляет собой гиперболу, которая возрастает на промежутке $(-\mathrm{\infty };3)$ и убывает на промежутке $(3;+\mathrm{\infty })$, потому что $-\frac{4}{x-3}$ возрастает при $x<3$ и убывает при $x>3$.

Ответ: Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(-\mathrm{\infty };3)$,
• Убывает на $(3;+\mathrm{\infty })$.

4) Координаты центра симметрии гиперболы:

Координаты центра симметрии гиперболы можно найти как точку пересечения асимптот. В данном случае асимптоты:

• вертикальная асимптота $x=3$,
• горизонтальная асимптота $y=5$.

Точка пересечения этих асимптот и будет центром симметрии гиперболы.

Ответ: Координаты центра симметрии гиперболы: $x=3$ и $y=5$.

5) Уравнения асимптот гиперболы:

График функции $y=-\frac{4}{x-3}+5$ имеет следующие асимптоты:

• вертикальная асимптота $x=3$,
• горизонтальная асимптота $y=5$.

Ответ: Уравнения асимптот гиперболы:

• $x=3$ и $y=5$.

в) $y=-\frac{2}{x-5}$

1) Область определения:

Для функции $y=-\frac{2}{x-5}$ область определения определяется как все значения $x$, за исключением $x=5$, потому что знаменатель не может быть равен нулю.

Ответ: Область определения: $x\mathrm{\ne }5$.

2) Множество значений:

График функции $y=-\frac{2}{x-5}$ будет иметь вертикальную асимптоту при $x=5$ и горизонтальную асимптоту при $y=0$, так как $-\frac{2}{x-5}\to 0$ при $x\to \pm \mathrm{\infty }$. Следовательно, функция может принимать любые значения, кроме $y=0$.

Ответ: Множество значений: $y\mathrm{\ne }0$.

3) Промежутки монотонности:

График функции $y=-\frac{2}{x-5}$ представляет собой гиперболу, которая возрастает на промежутке $(-\mathrm{\infty };5)$ и убывает на промежутке $(5;+\mathrm{\infty })$, поскольку $-\frac{2}{x-5}$ возрастает при $x<5$ и убывает при $x>5$.

Ответ: Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(-\mathrm{\infty };5)$,
• Убывает на $(5;+\mathrm{\infty })$.

4) Координаты центра симметрии гиперболы:

Центр симметрии гиперболы находится в точке пересечения асимптот. В данном случае асимптоты:

• вертикальная асимптота $x=5$,
• горизонтальная асимптота $y=0$.

Ответ: Координаты центра симметрии гиперболы: $x=5$ и $y=0$.

5) Уравнения асимптот гиперболы:

График функции $y=-\frac{2}{x-5}$ имеет следующие асимптоты:

• вертикальная асимптота $x=5$,
• горизонтальная асимптота $y=0$.

Ответ: Уравнения асимптот гиперболы:

• $x=5$ и $y=0$.

г) $y=\frac{3}{x+1}-2$

1) Область определения:

Для функции $y=\frac{3}{x+1}-2$ область определения также определяется тем, что знаменатель не может быть равен нулю. Это условие выполняется при $x\mathrm{\ne }-1$.

Ответ: Область определения: $x\mathrm{\ne }-1$.

2) Множество значений:

График функции $y=\frac{3}{x+1}-2$ будет иметь вертикальную асимптоту при $x=-1$ и горизонтальную асимптоту при $y=-2$, так как $\frac{3}{x+1}\to 0$ при $x\to \pm \mathrm{\infty }$. Следовательно, функция может принимать все значения, кроме $y=-2$.

Ответ: Множество значений: $y\mathrm{\ne }-2$.

3) Промежутки монотонности:

График функции $y=\frac{3}{x+1}-2$ представляет собой гиперболу, которая убывает на промежутке $(-\mathrm{\infty };-1)$ и возрастает на промежутке $(-1;+\mathrm{\infty })$, так как $\frac{3}{x+1}$ убывает при $x<-1$ и возрастает при $x>-1$.

Ответ: Промежутки монотонности:

• Убывает на $(-\mathrm{\infty };-1)$,
• Возрастает на $(-1;+\mathrm{\infty })$.

4) Координаты центра симметрии гиперболы:

Центр симметрии гиперболы находится в точке пересечения асимптот. В данном случае асимптоты:

• вертикальная асимптота $x=-1$,
• горизонтальная асимптота $y=-2$.

Ответ: Координаты центра симметрии гиперболы: $x=-1$ и $y=-2$.

5) Уравнения асимптот гиперболы:

График функции $y=\frac{3}{x+1}-2$ имеет следующие асимптоты:

• вертикальная асимптота $x=-1$,
• горизонтальная асимптота $y=-2$.

Ответ: Уравнения асимптот гиперболы:

• $x=-1$ и $y=-2$.

Итоговый ответ:

а)

• Область определения: $x\mathrm{\ne }0$
• Множество значений: $y\mathrm{\ne }4$
• Промежутки монотонности: Убывает на $(-\mathrm{\infty };0)\cup (0;+\mathrm{\infty })$
• Координаты центра симметрии: $(0,4)$
• Уравнения асимптот: $x=0$, $y=4$

б)

• Область определения: $x\mathrm{\ne }3$
• Множество значений: $y\mathrm{\ne }5$
• Промежутки монотонности: Возрастает на $(-\mathrm{\infty };3)$, убывает на $(3;+\mathrm{\infty })$
• Координаты центра симметрии: $(3,5)$
• Уравнения асимптот: $x=3$, $y=5$

в)

• Область определения: $x\mathrm{\ne }5$
• Множество значений: $y\mathrm{\ne }0$
• Промежутки монотонности: Возрастает на $(-\mathrm{\infty };5)$, убывает на $(5;+\mathrm{\infty })$
• Координаты центра симметрии: $(5,0)$
• Уравнения асимптот: $x=5$, $y=0$

г)

• Область определения: $x\mathrm{\ne }-1$
• Множество значений: $y\mathrm{\ne }-2$
• Промежутки монотонности: Убывает на $(-\mathrm{\infty };-1)$, возрастает на $(-1;+\mathrm{\infty })$
• Координаты центра симметрии: $(-1,-2)$
• Уравнения асимптот: $x=-1$, $y=-2$