ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 93 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на данном промежутке:

а) $y=2x^2+4x-6$ на отрезке $[-3;-1]$;

б) $y=-\frac{1}{3}(x+4{)}^2$ на отрезке $[-7;-4]$;

в) $y=3x^2-6$ на луче $[-1;+\mathrm{\infty })$;

г) $y=-2x^2+8x$ на интервале $(0;4)$

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y=2x^2+4x-6$ на отрезке $[-3;-1]$;

Абсцисса вершины параболы:

$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 2}=-1;$$

Значения функции:

$$y(-3)=2\cdot (-3{)}^2+4\cdot (-3)-6=18-12-6=0;$$$$y(-1)=2\cdot (-1{)}^2+4\cdot (-1)-6=2-4-6=-8;$$

Ответ: $y_{\text{min}}=-8$; $y_{\text{max}}=0$.

б) $y=-\frac{1}{3}(x+4{)}^2$ на отрезке $[-7;-4]$;

Абсцисса вершины параболы:

$$x+4=0,\text{ отсюда }x=-4;$$

Значения функции:

$$y(-7)=-\frac{1}{3}(-7+4{)}^2=-\frac{1}{3}\cdot (-3{)}^2=-\frac{1}{3}\cdot 9=-3;$$$$y(-4)=-\frac{1}{3}(-4+4{)}^2=-\frac{1}{3}\cdot 0^2=-\frac{1}{3}\cdot 0=0;$$

Ответ: $y_{\text{min}}=-3$; $y_{\text{max}}=0$.

в) $y=3x^2-6$ на луче $[-1;+\mathrm{\infty })$;

Абсцисса вершины параболы:

$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2\cdot 3}=0;$$

Значения функции:

$$y(-1)=3\cdot (-1{)}^2-6=3-6=-3;$$$$y(0)=3\cdot 0^2-6=0-6=-6;$$

$a=3>0$ — ветви направлены вверх;

Ответ: $y_{\text{min}}=-6$; $y_{\text{max}}$ — нет.

г) $y=-2x^2+8x$ на интервале $(0;4)$;

Абсцисса вершины параболы:

$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot (-2)}=2;$$

Значения функции:

$$y(2)=-2\cdot 2^2+8\cdot 2=-8+16=8;$$

$a=-2<0$ — ветви направлены вниз;

Ответ: $y_{\text{min}}$ — нет; $y_{\text{max}}=8$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y=2x^2+4x-6$ на отрезке $[-3;-1]$:

1. Определим абсциссу вершины параболы.

Функция $y=2x^2+4x-6$ является квадратичной функцией, где коэффициенты $a=2$, $b=4$ и $c=-6$. Чтобы найти абсциссу вершины параболы, используем формулу для абсциссы вершины квадратичной функции:

$$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения $a=2$ и $b=4$:

$$x_{\text{в}}=-\frac{4}{2\cdot 2}=-\frac{4}{4}=-1$$

Итак, вершина параболы находится при $x=-1$. Это важный момент, так как точка $x=-1$ лежит в пределах заданного отрезка $[-3;-1]$.

2. Вычислим значения функции на концах отрезка и в вершине параболы.

Поскольку вершина параболы лежит внутри отрезка $[-3;-1]$, нам нужно вычислить значение функции в точках $x=-3$, $x=-1$ и, возможно, в вершине, если она лежит на отрезке.

• $x=-3$:

Подставляем значение $x=-3$ в исходную функцию:

$$y(-3)=2(-3{)}^2+4(-3)-6=2\cdot 9-12-6=18-12-6=0$$

• $x=-1$:

Подставляем значение $x=-1$ в функцию:

$$y(-1)=2(-1{)}^2+4(-1)-6=2\cdot 1-4-6=2-4-6=-8$$

• $x=-1$ — это также вершина параболы, и значение функции в этой точке уже вычислено.

3. Определим наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Мы нашли, что:

• $y(-3)=0$
• $y(-1)=-8$

Таким образом:

• Наибольшее значение функции $y_{\text{max}}=0$
• Наименьшее значение функции $y_{\text{min}}=-8$

Ответ: $y_{\text{min}}=-8$; $y_{\text{max}}=0$.

б) $y=-\frac{1}{3}(x+4{)}^2$ на отрезке $[-7;-4]$:

1. Определим абсциссу вершины параболы.

Задана функция вида $y=a(x-x_0{)}^2+y_0$, где $a=-\frac{1}{3}$, $x_0=-4$, и $y_0=0$. Это парабола, вершина которой находится в точке $x=-4$.

Абсцисса вершины равна $x=-4$. Поскольку точка $x=-4$ входит в отрезок $[-7;-4]$, она является важной для нахождения экстремумов.

2. Вычислим значения функции на концах отрезка и в вершине.

Нам нужно вычислить значение функции в точках $x=-7$ и $x=-4$.

• $x=-7$:

Подставляем значение $x=-7$ в исходную функцию:

$$y(-7)=-\frac{1}{3}(-7+4{)}^2=-\frac{1}{3}(-3{)}^2=-\frac{1}{3}\cdot 9=-3$$

• $x=-4$:

Подставляем значение $x=-4$ в функцию:

$$y(-4)=-\frac{1}{3}(-4+4{)}^2=-\frac{1}{3}\cdot 0^2=0$$

3. Определим наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Мы нашли, что:

• $y(-7)=-3$
• $y(-4)=0$

Таким образом:

• Наибольшее значение функции $y_{\text{max}}=0$
• Наименьшее значение функции $y_{\text{min}}=-3$

Ответ: $y_{\text{min}}=-3$; $y_{\text{max}}=0$.

в) $y=3x^2-6$ на луче $[-1;+\mathrm{\infty })$:

1. Определим абсциссу вершины параболы.

Функция $y=3x^2-6$ является квадратичной функцией, где коэффициенты $a=3$, $b=0$, и $c=-6$. Мы можем найти абсциссу вершины с помощью формулы:

$$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2\cdot 3}=0$$

Таким образом, вершина параболы находится при $x=0$.

2. Вычислим значения функции на концах отрезка и в вершине.

Нам нужно вычислить значение функции в точках $x=-1$ и $x=0$.

• $x=-1$:

Подставляем значение $x=-1$ в функцию:

$$y(-1)=3(-1{)}^2-6=3\cdot 1-6=3-6=-3$$

• $x=0$:

Подставляем значение $x=0$ в функцию:

$$y(0)=3\cdot 0^2-6=0-6=-6$$

3. Определим наибольшее и наименьшее значение функции на луче.

Мы нашли, что:

• $y(-1)=-3$
• $y(0)=-6$

Парабола открывается вверх (так как $a=3>0$), а следовательно, минимум функции находится в вершине при $x=0$, а наибольшее значение функции будет стремиться к бесконечности при $x\to +\mathrm{\infty }$.

Таким образом:

• Наименьшее значение функции $y_{\text{min}}=-6$
• Наибольшее значение функции не существует на луче (функция стремится к бесконечности).

Ответ: $y_{\text{min}}=-6$; $y_{\text{max}}$ — нет.

г) $y=-2x^2+8x$ на интервале $(0;4)$:

1. Определим абсциссу вершины параболы.

Функция $y=-2x^2+8x$ является квадратичной функцией, где коэффициенты $a=-2$, $b=8$, и $c=0$. Мы можем найти абсциссу вершины с помощью формулы:

$$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot (-2)}=-\frac{8}{-4}=2$$

Таким образом, вершина параболы находится при $x=2$.

2. Вычислим значения функции на концах интервала и в вершине.

Нам нужно вычислить значение функции в точке $x=2$, так как она является вершиной, и на концах интервала $x=0$ и $x=4$.

• $x=0$:

Подставляем значение $x=0$ в функцию:

$$y(0)=-2(0{)}^2+8(0)=0$$

• $x=2$:

Подставляем значение $x=2$ в функцию:

$$y(2)=-2(2{)}^2+8(2)=-2\cdot 4+16=-8+16=8$$

• $x=4$:

Подставляем значение $x=4$ в функцию:

$$y(4)=-2(4{)}^2+8(4)=-2\cdot 16+32=-32+32=0$$

3. Определим наибольшее и наименьшее значение функции на интервале.

Мы нашли, что:

• $y(0)=0$
• $y(2)=8$
• $y(4)=0$

Парабола открывается вниз (так как $a=-2<0$), и вершина при $x=2$ представляет наибольшее значение.

Таким образом:

• Наибольшее значение функции $y_{\text{max}}=8$
• Наименьшее значение функции не существует на интервале (функция убывает на обоих концах интервала).

Ответ: $y_{\text{min}}$ — нет; $y_{\text{max}}=8$.