ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 82 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Первоначальная цена на некоторый товар была повышена на 44 %, затем 2 раза понижалась на одинаковое число процентов. В результате окончательная цена товара оказалась на 19% меньше первоначальной. На сколько процентов производилось двукратное снижение цены?

Вот точный переписанный текст, без изменений и добавлений:

Пусть $y$ — начальная цена товара, которая понижалась на $x$ процентов:

Цена товара после повышения на 44 процента:

$$y \cdot \frac{100 + 44}{100} = y \cdot \frac{144}{100} = 1,44y;$$

Цена товара после двух снижений на $x$ процентов:

$$1,44y \cdot \left( \frac{100 — x}{100} \right)^2 = 1,44y \cdot (1 — 0,01x)^2;$$

Конечная цена товара на 19 процентов ниже начальной, то есть:

$$y \cdot \frac{100 — 19}{100} = y \cdot \frac{81}{100} = 0,81y;$$

Составим и решим уравнение:

$$0,81y = 1,44y \cdot (1 — 0,01x)^2;$$ $$(1 — 0,01x)^2 = \frac{0,81y}{1,44y};$$ $$1 — 0,01x = \sqrt{\frac{9}{16}};$$ $$1 — 0,01x = \frac{3}{4};$$ $$0,01x = 1 — \frac{3}{4};$$ $$0,01x = \frac{1}{4};$$ $$x = \frac{1}{4} : 0,01 = \frac{100}{4} = 25 (\%);$$

Ответ: на 25 процентов.

Условия задачи:

• Пусть $y$ — начальная цена товара.
• Цена товара была увеличена на 44%.
• Затем дважды снижалась на одинаковый процент $x$.
• Окончательная цена товара оказалась на 19% меньше начальной.

Нужно найти значение $x$ — процент, на который понижалась цена товара дважды.

1. Определение цены после повышения на 44%

После того как цена была повышена на 44%, новая цена товара составила:

$$y \cdot \left( 1 + \frac{44}{100} \right) = y \cdot \frac{144}{100} = 1,44y$$

Таким образом, после повышения цена товара стала $1,44y$, где $y$ — исходная цена товара.

2. Определение цены после двух понижений на одинаковый процент $x$

Теперь товар дважды понижается на одинаковый процент $x$. Каждое снижение на $x$ процентов означает, что новая цена после снижения составит:

$$\text{новая цена} = \text{предыдущая цена} \cdot \left( 1 — \frac{x}{100} \right)$$

После первого понижения цена станет:

$$1,44y \cdot \left( 1 — \frac{x}{100} \right)$$

После второго понижения цена составит:

$$1,44y \cdot \left( 1 — \frac{x}{100} \right) \cdot \left( 1 — \frac{x}{100} \right) = 1,44y \cdot \left( 1 — \frac{x}{100} \right)^2$$

Таким образом, цена товара после двух понижений на $x$ процентов будет равна:

$$1,44y \cdot \left( 1 — 0,01x \right)^2$$

3. Определение конечной цены товара

Конечная цена товара оказалась на 19% меньше начальной. Это означает, что цена стала составлять 81% от начальной цены:

$$y \cdot \frac{100 — 19}{100} = y \cdot \frac{81}{100} = 0,81y$$

Таким образом, конечная цена товара после всех изменений — $0,81y$.

4. Составление уравнения

Теперь мы можем составить уравнение, равенство между конечной ценой и ценой после двух понижений:

$$0,81y = 1,44y \cdot \left( 1 — 0,01x \right)^2$$

5. Упростим уравнение

Разделим обе части уравнения на $y$ (при $y \neq 0$):

$$0,81 = 1,44 \cdot \left( 1 — 0,01x \right)^2$$

Разделим обе части уравнения на 1,44:

$$\frac{0,81}{1,44} = \left( 1 — 0,01x \right)^2$$

Вычислим $\frac{0,81}{1,44}$:

$$\frac{0,81}{1,44} = 0,5625$$

Тогда уравнение примет вид:

$$0,5625 = \left( 1 — 0,01x \right)^2$$

6. Извлечение квадратного корня

Чтобы избавиться от квадрата, извлечем квадратный корень из обеих сторон:

$$\sqrt{0,5625} = 1 — 0,01x$$

Вычислим квадратный корень из 0,5625:

$$\sqrt{0,5625} = 0,75$$

Тогда уравнение становится:

$$0,75 = 1 — 0,01x$$

7. Решение для $x$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$$0,01x = 1 — 0,75 = 0,25$$ $$x = \frac{0,25}{0,01} = 25$$

8. Ответ

Процент, на который дважды понижалась цена товара, составляет:

$$\boxed{25\%}$$