ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 78 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Слиток сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди надо добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 60% меди?

Пусть $x$ (кг) — масса добавленной в сплав меди;

В первом слитке массой 36 кг содержится 45% меди, значит:

$$36 \cdot \frac{45}{100} = 36 \cdot 0,45 = 16,2 \ (\text{кг}) — \text{меди в первом сплаве};$$

Полученный сплав содержит 60% меди, следовательно:

$$\frac{16,2 + x}{36 + x} \cdot 100 = 60;$$ $$\frac{162 + 10x}{36 + x} = 6;$$ $$162 + 10x = 6(36 + x);$$ $$162 + 10x = 216 + 6x;$$ $$4x = 54;$$ $$x = \frac{54}{4} = 13,5 \ (\text{кг});$$

Ответ: 13,5 кг.

Дано:

• Масса первого слитка $M_1 = 36$ кг.
• Содержание меди в этом слитке — 45%. Это значит, что в первом слитке меди $45\%$ от массы, т.е. $0,45 \times 36 = 16,2$ кг меди.
• Необходимо добавить $x$ кг меди, чтобы содержание меди в сплаве стало 60%.

Шаг 1: Вычисление количества меди в первоначальном сплаве

Мы знаем, что в первом слитке массой 36 кг содержится 45% меди. Содержание меди можно вычислить, умножив массу на процент меди:

$$M_{\text{медь}} = 36 \times \frac{45}{100} = 36 \times 0,45 = 16,2 \, (\text{кг}) \quad \text{(меди в первом сплаве)}.$$

Шаг 2: Составление уравнения для содержания меди после добавления меди

Пусть $x$ — масса меди, которую необходимо добавить к слитку. Тогда масса нового сплава будет равна:

$$M_{\text{нов}} = 36 + x \quad \text{(масса нового сплава)}.$$

Количество меди в новом сплаве будет равно:

$$M_{\text{медь нов}} = 16,2 + x \quad \text{(медь в новом сплаве)}.$$

Условие задачи гласит, что в полученном сплаве должно быть 60% меди. Это означает, что доля меди в новом сплаве равна 60%, то есть:

$$\frac{M_{\text{медь нов}}}{M_{\text{нов}}} \cdot 100 = 60.$$

Подставим выражения для массы меди и массы нового сплава:

$$\frac{16,2 + x}{36 + x} \cdot 100 = 60.$$

Шаг 3: Преобразование уравнения

Для удобства избавимся от процента и умножим обе части уравнения на 100:

$$\frac{16,2 + x}{36 + x} = 0,60.$$

Теперь умножим обе части на $36 + x$, чтобы избавиться от дроби:

$$16,2 + x = 0,60(36 + x).$$

Шаг 4: Раскрытие скобок и упрощение уравнения

Теперь раскрываем скобки и упрощаем:

$$16,2 + x = 0,60 \times 36 + 0,60 \times x,$$ $$16,2 + x = 21,6 + 0,60x.$$

Переносим все слагаемые с $x$ на одну сторону и все числа на другую:

$$x — 0,60x = 21,6 — 16,2.$$

Это упрощается до:

$$0,40x = 5,4.$$

Шаг 5: Решение уравнения

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$$x = \frac{5,4}{0,40} = 13,5 \, (\text{кг}).$$

Ответ:

Масса меди, которую необходимо добавить, чтобы содержание меди в сплаве стало 60%, равна $\boxed{13,5} \, \text{кг}$.