ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 77 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

В сплав меди и цинка, содержащий 5 кг цинка, добавили 15 кг цинка, после чего содержание цинка в сплаве повысилось на 30%. Какова первоначальная масса сплава, если известно, что в нём меди было больше, чем цинка?

Пусть $x$ килограмм — количество меди в первом сплаве, тогда:

• $x + 5$ (кг) — масса первого сплава;
• $x + 5 + 15$ (кг) — масса второго сплава;
• $\frac{5}{x+5} \cdot 100\%$ — содержание цинка в первом сплаве;
• $\frac{5+15}{x+5+15} \cdot 100\%$ — содержание цинка во втором сплаве;

Содержание цинка в сплаве увеличилось на 30%, значит:

$$\frac{5}{x+5} \cdot 100 + 30 = \frac{5+15}{x+5+15} \cdot 100;$$ $$\frac{500}{x+5} + 30 = \frac{2000}{x+20};$$ $$500(x+20) + 30(x+5)(x+20) = 2000(x+5);$$ $$500x + 10000 + 30(x^2 + 20x + 5x + 100) = 2000x + 10000;$$ $$30x^2 + 600x + 150x + 3000 = 1500x;$$ $$30x^2 — 750x + 3000 = 0;$$ $$x^2 — 25x + 100 = 0;$$ $$D = 25^2 — 4 \cdot 100 = 625 — 400 = 225, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{25 — 15}{2} = 5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{25 + 15}{2} = 20;$$

По условию, меди в первом сплаве было больше, чем цинка:

$$x = 20 \, (\text{кг});$$ $$x + 5 = 20 + 5 = 25 \, (\text{кг});$$

Ответ: $25 \, \text{кг}.$

Условия задачи:

1. В сплав меди и цинка изначально содержится 5 кг цинка.
2. В этот сплав добавляют 15 кг цинка.
3. После этого содержание цинка в сплаве увеличивается на 30%.
4. Задача: найти первоначальную массу сплава, если известно, что меди в нём было больше, чем цинка.

Обозначения:

• Пусть $x$ — количество меди в первоначальном сплаве в килограммах.
• Тогда масса первоначального сплава (медь + цинк) будет равна $x + 5$ килограммов (поскольку в сплаве изначально 5 кг цинка).

После того как добавили 15 кг цинка, масса второго сплава стала $x + 5 + 15 = x + 20$ килограммов.

Содержание цинка в первоначальном сплаве:

$$\frac{5}{x+5} \cdot 100\% \quad \text{(содержание цинка в первоначальном сплаве)}.$$

Содержание цинка во втором сплаве:

$$\frac{5 + 15}{x + 20} \cdot 100\% = \frac{20}{x + 20} \cdot 100\% \quad \text{(содержание цинка во втором сплаве)}.$$

Из условия задачи известно, что содержание цинка в сплаве увеличилось на 30%. Это означает, что разница между содержанием цинка во втором и первом сплаве составляет 30%. Следовательно, мы можем записать уравнение для этого:

$$\frac{20}{x + 20} \cdot 100 — \frac{5}{x + 5} \cdot 100 = 30.$$

Теперь разберемся с этим уравнением.

Шаг 1: Преобразование уравнения

Сначала избавимся от процентов, разделив обе части на 100:

$$\frac{20}{x + 20} — \frac{5}{x + 5} = 0.30.$$

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Для того чтобы упростить уравнение, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для $x + 20$ и $x + 5$ — это $(x + 20)(x + 5)$. Получаем:

$$\frac{20(x + 5)}{(x + 20)(x + 5)} — \frac{5(x + 20)}{(x + 20)(x + 5)} = 0.30.$$

Теперь числители приводим к одному знаменателю:

$$\frac{20(x + 5) — 5(x + 20)}{(x + 20)(x + 5)} = 0.30.$$

Шаг 3: Упрощение числителей

Раскроем скобки в числителях:

$$20(x + 5) = 20x + 100,$$ $$5(x + 20) = 5x + 100.$$

Подставляем в уравнение:

$$\frac{20x + 100 — 5x — 100}{(x + 20)(x + 5)} = 0.30.$$

Упрощаем числитель:

$$\frac{15x}{(x + 20)(x + 5)} = 0.30.$$

Шаг 4: Умножение на общий знаменатель

Теперь умножим обе части уравнения на $(x + 20)(x + 5)$, чтобы избавиться от дроби:

$$15x = 0.30(x + 20)(x + 5).$$

Шаг 5: Раскрытие скобок

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$$(x + 20)(x + 5) = x^2 + 25x + 100.$$

Подставляем:

$$15x = 0.30(x^2 + 25x + 100).$$

Шаг 6: Умножение и приведение к стандартному виду

Умножим правую часть на 0.30:

$$15x = 0.30x^2 + 7.5x + 30.$$

Теперь приведем все к одной стороне уравнения:

$$0 = 0.30x^2 + 7.5x + 30 — 15x,$$ $$0 = 0.30x^2 — 7.5x + 30.$$

Умножим всё на 10, чтобы избавиться от десятичных:

$$0 = 3x^2 — 75x + 300.$$

Шаг 7: Решение квадратного уравнения

Теперь решим полученное квадратное уравнение:

$$3x^2 — 75x + 300 = 0.$$

Разделим обе части на 3:

$$x^2 — 25x + 100 = 0.$$

Посчитаем дискриминант:

$$D = (-25)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 100 = 625 — 400 = 225.$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-25) — \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{25 — 15}{2} = 5,$$ $$x_2 = \frac{-(-25) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{25 + 15}{2} = 20.$$

Шаг 8: Выбор подходящего корня

Из условия задачи известно, что меди в первоначальном сплаве было больше, чем цинка. Поэтому $x = 20$ кг — это количество меди в первоначальном сплаве.

Шаг 9: Масса первоначального сплава

Масса первоначального сплава составляет:

$$x + 5 = 20 + 5 = 25 \, \text{кг}.$$

Ответ: первоначальная масса сплава равна $\boxed{25} \, \text{кг}$.