ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 74 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Двое рабочих вместе могут справиться с заданием за 2 ч. Если один из них сделает 40% задания, а затем второй — оставшуюся часть работы, то на выполнение задания понадобится 4 ч. За какое время сможет выполнить всё задание каждый рабочий, действуя в одиночку, если известно, что производительность труда у них различная?

Пусть первый рабочий может выполнить задания за $x$ часов, а второй рабочий — за $y$ часов, тогда:

$$\frac{1}{x} — \text{производительность первого рабочего};$$ $$\frac{1}{y} — \text{производительность второго рабочего};$$

Если первый рабочий выполнит $40\% \left( \frac{2}{5} \right)$ работы, а затем второй рабочий — оставшуюся часть $\left( \frac{3}{5} \right)$, то они справятся за 4 часа, значит:

$$\frac{2}{5} \cdot x + \frac{3}{5} \cdot y = 4 \quad | \cdot 5;$$ $$2x + 3y = 20;$$ $$3y = 20 — 2x;$$ $$y = \frac{20 — 2x}{3};$$

Работая совместно они могут выполнить работу за 2 часа, значит:

$$\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 1;$$ $$\frac{2}{x} + \frac{6}{20 — 2x} = 1 \quad | \cdot x(20 — 2x);$$ $$2(20 — 2x) + 6x = x(20 — 2x);$$ $$40 — 4x + 6x = 20x — 2x^2;$$ $$2x^2 — 18x + 40 = 0;$$ $$x^2 — 9x + 20 = 0;$$ $$D = 9^2 — 4 \cdot 20 = 81 — 80 = 1, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{9 — 1}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9 + 1}{2} = 5;$$

Время выполнения работы вторым рабочим:

$$y_1 = \frac{20 — 2 \cdot 4}{3} = \frac{20 — 8}{3} = \frac{12}{3} = 4;$$ $$y_2 = \frac{20 — 2 \cdot 5}{3} = \frac{20 — 10}{3} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3};$$

По условию, рабочие выполняют работу за разное время, значит:

$$x = 5 \text{ часов};$$ $$y = 3 \frac{1}{3} (\text{ч}) = 3 \text{ часа } 20 \text{ минут};$$

Ответ: за 5 часов; за 3 часа 20 минут.

Условия задачи:

• Рабочие выполняют задание вместе за 2 часа.
• Если первый рабочий выполняет 40% работы, а второй — оставшиеся 60%, то они справляются с задачей за 4 часа.
• Нужно найти, за какое время каждый рабочий выполнит всю работу по одиночке.

Шаг 1: Введение переменных и установление уравнений

Пусть:

• $x$ — время, которое потребуется первому рабочему для выполнения всей работы (в часах).
• $y$ — время, которое потребуется второму рабочему для выполнения всей работы (в часах).

Тогда производительность первого рабочего будет $\frac{1}{x}$, а производительность второго рабочего — $\frac{1}{y}$.

Уравнение 1: Совместная работа рабочих

Из условия, что два рабочих могут выполнить всю работу за 2 часа, составим следующее уравнение. Производительность рабочих при совместной работе — это сумма их индивидуальных производительностей:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}.$$

Это уравнение выражает, что оба рабочего за 1 час выполняют в сумме половину работы.

Уравнение 2: Частичная работа

Когда первый рабочий выполняет 40% работы, а второй — оставшиеся 60%, время выполнения работы равно 4 часа. Это условие также можно записать в виде уравнения.

• Первый рабочий выполняет $40\%$ работы, т.е. $\frac{2}{5}$ работы, за время $t_1 = \frac{2}{5} \cdot x$.
• Второй рабочий выполняет оставшуюся $60\%$ работы, т.е. $\frac{3}{5}$ работы, за время $t_2 = \frac{3}{5} \cdot y$.

Итак, общее время выполнения работы $t_1 + t_2 = 4$, следовательно:

$$\frac{2}{5} \cdot x + \frac{3}{5} \cdot y = 4.$$

Теперь у нас есть два уравнения:

1. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$,
2. $\frac{2}{5} \cdot x + \frac{3}{5} \cdot y = 4$.

Шаг 2: Решение системы уравнений

Уравнение 2 — преобразование

Умножим второе уравнение на 5, чтобы избавиться от дробей:

$$2x + 3y = 20.$$

Теперь у нас есть система:

1. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$,
2. $2x + 3y = 20$.

Выражение $y$ через $x$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$$3y = 20 — 2x,$$ $$y = \frac{20 — 2x}{3}.$$

Подставим $y$ в первое уравнение

Теперь подставим выражение для $y$ во второе уравнение. Сначала упростим его:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2},$$ $$\frac{1}{x} + \frac{3}{20 — 2x} = \frac{1}{2}.$$

Теперь умножим на $2x(20 — 2x)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$2x(20 — 2x) \cdot \frac{1}{x} + 2x(20 — 2x) \cdot \frac{3}{20 — 2x} = 2x(20 — 2x) \cdot \frac{1}{2},$$

что даёт:

$$2(20 — 2x) + 6x = x(20 — 2x).$$

Упростим каждую часть:

$$40 — 4x + 6x = 20x — 2x^2.$$ $$40 + 2x = 20x — 2x^2.$$

Переносим все в одну сторону:

$$2x^2 — 18x + 40 = 0.$$

Разделим на 2:

$$x^2 — 9x + 20 = 0.$$

Решение квадратного уравнения

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 — 80 = 1.$$

Таким образом, у нас два корня:

$$x_1 = \frac{9 — 1}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9 + 1}{2} = 5.$$

Шаг 3: Найдем значения $y$

Теперь, зная $x$, найдём соответствующие значения $y$. Подставим $x_1 = 4$ в выражение для $y$:

$$y_1 = \frac{20 — 2 \cdot 4}{3} = \frac{20 — 8}{3} = \frac{12}{3} = 4.$$

Подставим $x_2 = 5$ в выражение для $y$:

$$y_2 = \frac{20 — 2 \cdot 5}{3} = \frac{20 — 10}{3} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}.$$

Шаг 4: Ответ

По условию задачи, производительность рабочих различна, значит, один из рабочих работает быстрее, чем другой. Таким образом, $x = 5$ часов — время, которое требуется первому рабочему, а $y = 3 \frac{1}{3}$ часов — время, которое требуется второму рабочему.

Ответ: первый рабочий выполнит задание за 5 часов, второй — за 3 часа 20 минут.