ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 73 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Два тракториста, работая совместно, вспахали поле за 48 ч. Если бы половину поля вспахал один из них, а затем оставшуюся половину другой, то работа была бы выполнена за 100 ч. За сколько часов мог бы вспахать поле каждый тракторист, работая отдельно?

Пусть первый тракторист может вспахать поле за $x$ часов, а второй тракторист — за $y$ часов, тогда:

$$\frac{1}{x} — \text{производительность первого тракториста};$$ $$\frac{1}{y} — \text{производительность второго тракториста};$$

Если каждый тракторист вспашет по половине поля (отработает только половину своего времени), то это займет 100 часов, значит:

$$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 100 \quad | \cdot 2;$$ $$x + y = 200;$$ $$y = 200 — x;$$

Работая совместно они могут вспахать поле за 48 часов, значит:

$$\frac{48}{x} + \frac{48}{y} = 1;$$ $$\frac{48}{x} + \frac{48}{200 — x} = 1 \quad | \cdot x(200 — x);$$ $$48(200 — x) + 48x = x(200 — x);$$ $$9600 — 48x + 48x = 200x — x^2;$$ $$x^2 — 200x + 9600 = 0;$$ $$D = 200^2 — 4 \cdot 9600 = 40000 — 38400 = 1600, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{200 — 40}{2} = 80 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{200 + 40}{2} = 120;$$ $$y_1 = 200 — 80 = 120 \quad \text{и} \quad y_2 = 200 — 120 = 80;$$

Ответ: за 80 часов; за 120 часов.

Разбор задачи:

1. Два тракториста совместно вспахали поле за 48 часов.
2. Если бы половину поля вспахал один тракторист, а вторую половину — другой тракторист, то работа была бы выполнена за 100 часов.

Нам нужно найти, за сколько часов каждый тракторист может вспахать поле, работая по одиночке.

Шаг 1: Обозначим переменные

Обозначим время, которое требуется первому трактористу для вспашки всего поля, за $x$ часов. Тогда время, которое требуется второму трактористу для выполнения того же объема работы, будем обозначать за $y$ часов.

• Производительность первого тракториста: $\frac{1}{x}$ работы в час.
• Производительность второго тракториста: $\frac{1}{y}$ работы в час.

Шаг 2: Совместная работа трактористов

Когда оба тракториста работают совместно, они выполняют работу за 48 часов. Это значит, что их суммарная производительность (сумма производительности каждого тракториста) равна $\frac{1}{48}$ работы в час. Таким образом, имеем уравнение для совместной работы трактористов:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{48}.$$

Шаг 3: Время выполнения работы, если трактористы работают по очереди

Теперь рассмотрим ситуацию, когда один тракторист вспахивает половину поля, а второй — вторую половину. Общее время выполнения работы в этом случае составляет 100 часов. Пусть первый тракторист работает над первой половиной поля (то есть он выполняет работу за $\frac{x}{2}$ часов), а второй тракторист работает над второй половиной поля (то есть он выполняет работу за $\frac{y}{2}$ часов). Тогда общее время, затраченное на выполнение работы, будет:

$$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 100.$$

Умножив обе части уравнения на 2, получаем:

$$x + y = 200.$$

Шаг 4: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{48}$,
2. $x + y = 200$.

Из второго уравнения выразим $y$:

$$y = 200 — x.$$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{200 — x} = \frac{1}{48}.$$

Теперь умножим обе части уравнения на $x(200 — x)$, чтобы избавиться от дробей:

$$(200 — x) + x = \frac{x(200 — x)}{48}.$$

Упростим:

$$200 = \frac{x(200 — x)}{48}.$$

Теперь умножим обе части уравнения на 48:

$$9600 = x(200 — x).$$

Раскроем скобки:

$$9600 = 200x — x^2.$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$x^2 — 200x + 9600 = 0.$$

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Для решения квадратного уравнения $x^2 — 200x + 9600 = 0$ используем формулу для нахождения корней:

$$D = (-200)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9600 = 40000 — 38400 = 1600.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x = \frac{-(-200) \pm \sqrt{1600}}{2 \cdot 1} = \frac{200 \pm 40}{2}.$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x_1 = \frac{200 — 40}{2} = \frac{160}{2} = 80,$$ $$x_2 = \frac{200 + 40}{2} = \frac{240}{2} = 120.$$

Шаг 6: Нахождение времени для второго тракториста

Теперь, зная значение $x$, можем найти время, которое требуется второму трактористу для выполнения работы. Из уравнения $x + y = 200$ получаем:

• Если $x = 80$, то $y = 200 — 80 = 120$.
• Если $x = 120$, то $y = 200 — 120 = 80$.

Ответ:

• Если первый тракторист может вспахать поле за 80 часов, то второй тракторист выполнит ту же работу за 120 часов.
• Если первый тракторист может вспахать поле за 120 часов, то второй тракторист выполнит ту же работу за 80 часов.

Ответ: за 80 часов и за 120 часов.