ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 72 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Два экскаватора, работая одновременно, выполнят некоторый объём земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объём работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?

Пусть первый экскаватор может выполнить задание за $x$ часов, тогда

$x + 4$ (ч) — время, за которое выполнит задание второй экскаватор;

$\frac{1}{x}$ — производительность первого экскаватора;

$\frac{1}{x+4}$ — производительность второго экскаватора:

Совместно они выполняют задание за 3 ч 45 мин $\left( \frac{15}{4} \right)$, значит:

$$\frac{15}{4x} + \frac{15}{4(x+4)} = 1 \quad | \cdot 4x(x+4);$$ $$15(x+4) + 15x = 4x(x+4);$$ $$15x + 60 + 15x = 4x^2 + 16x;$$ $$4x^2 — 14x — 60 = 0;$$ $$2x^2 — 7x — 30 = 0;$$ $$D = 7^2 + 4 \cdot 2 \cdot 30 = 49 + 240 = 289, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{7 — 17}{2 \cdot 2} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2};$$ $$x_2 = \frac{7 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6;$$

Время не может быть отрицательным, значит:

$$x = 6 \, (\text{ч});$$ $$x + 4 = 6 + 4 = 10 \, (\text{ч});$$

Ответ: за 6 часов; за 10 часов.

Дано:

1. Два экскаватора, работая совместно, выполняют некоторый объем земляных работ за 3 ч 45 мин (или $\frac{15}{4}$ часов).
2. Один экскаватор может выполнить этот объем работ на 4 ч быстрее, чем другой экскаватор.

Необходимо найти время, которое требуется каждому экскаватору для выполнения работы по отдельности.

Шаг 1: Обозначения

Обозначим время, которое требуется первому экскаватору для выполнения работы, за $x$ часов. Тогда для второго экскаватора время выполнения работы будет $x + 4$ часов, так как он работает на 4 часа дольше.

Шаг 2: Производительность экскаваторов

Производительность экскаватора — это доля работы, которую он выполняет за 1 час.

• Производительность первого экскаватора равна $\frac{1}{x}$, так как он выполняет всю работу за $x$ часов.
• Производительность второго экскаватора равна $\frac{1}{x + 4}$, так как он выполняет всю работу за $x + 4$ часов.

Шаг 3: Совместная работа экскаваторов

Работая совместно, оба экскаватора выполняют работу за $\frac{15}{4}$ часов. Совместная производительность экскаваторов равна сумме их индивидуальных производительностей, то есть:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{\frac{15}{4}} = \frac{4}{15}.$$

Это уравнение выражает совместную производительность экскаваторов.

Шаг 4: Решение уравнения

Теперь решим полученное уравнение для $x$.

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} = \frac{4}{15}.$$

Приведем обе части уравнения к общему знаменателю:

$$\frac{x + 4 + x}{x(x + 4)} = \frac{4}{15}.$$

Упростим числитель:

$$\frac{2x + 4}{x(x + 4)} = \frac{4}{15}.$$

Теперь умножим обе части уравнения на $15x(x + 4)$, чтобы избавиться от дробей:

$$15(2x + 4) = 4x(x + 4).$$

Раскроем скобки:

$$30x + 60 = 4x^2 + 16x.$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$4x^2 + 16x — 30x — 60 = 0,$$ $$4x^2 — 14x — 60 = 0.$$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$$2x^2 — 7x — 30 = 0.$$

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение $2x^2 — 7x — 30 = 0$ с помощью дискриминанта.

Для этого вычислим дискриминант $D$:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 17}{4}.$$

Рассмотрим два корня:

$$x_1 = \frac{7 — 17}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}, \quad x_2 = \frac{7 + 17}{4} = \frac{24}{4} = 6.$$

Корень $x_1 = -\frac{5}{2}$ не имеет смысла, так как время не может быть отрицательным.

Следовательно, $x = 6$ часов — это время, которое требуется первому экскаватору для выполнения работы.

Шаг 6: Время второго экскаватора

Время, которое требуется второму экскаватору, равно $x + 4 = 6 + 4 = 10$ часов.

Ответ:

• Первый экскаватор выполняет работу за 6 часов.
• Второй экскаватор выполняет работу за 10 часов.