ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 71 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Два комбайна, работая совместно, могут выполнить задание за 6 ч. Первый комбайн, работая один, может выполнить это задание на 5 ч быстрее, чем второй комбайн. За какое время может выполнить задание первый комбайн, работая один?

Пусть первый комбайн может выполнить задание за $x$ часов, тогда:

• $x + 5$ (ч) — время, за которое выполнит задание второй комбайн;
• $\frac{1}{x}$ — производительность первого комбайна;
• $\frac{1}{x+5}$ — производительность второго комбайна.

Работая совместно, комбайны выполняют задание за 6 часов, значит:

$$\frac{6}{x} + \frac{6}{x+5} = 1 \quad | \cdot x(x+5);$$ $$6(x+5) + 6x = x(x+5);$$ $$6x + 30 + 6x = x^2 + 5x;$$ $$x^2 — 7x — 30 = 0;$$ $$D = 7^2 + 4 \cdot 30 = 49 + 120 = 169, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{7 — 13}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 13}{2} = 10;$$

Время не может быть отрицательным, значит:

$$x = 10 \, (\text{ч});$$

Ответ: за 10 часов.

Дано:

1. Два комбайна совместно выполняют задание за 6 часов.
2. Первый комбайн может выполнить задание на 5 часов быстрее, чем второй.

Обозначим:

• $x$ — время, которое требуется первому комбайну для выполнения задания, если он работает один.
• $x + 5$ — время, которое требуется второму комбайну для выполнения задания, если он работает один.

Шаг 1. Производительность комбайнов

Производительность комбайна определяется как количество работы, которое он выполняет за 1 час. В случае, если первый комбайн выполняет задание за $x$ часов, его производительность равна $\frac{1}{x}$ работы в час. Аналогично, если второй комбайн выполняет задание за $x + 5$ часов, его производительность равна $\frac{1}{x+5}$.

Шаг 2. Совместная работа комбайнов

Когда оба комбайна работают вместе, их суммарная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5}.$$

Из условия задачи известно, что два комбайна выполняют задание за 6 часов. Значит, их совместная производительность составляет $\frac{1}{6}$ работы в час, поскольку за 1 час они выполняют $\frac{1}{6}$ работы.

Таким образом, получаем уравнение:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6}.$$

Шаг 3. Приведение уравнения к общему знаменателю

Для того чтобы решить это уравнение, приведем его к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x + 5}$ будет равен $x(x + 5)$. Умножим обе части уравнения на этот общий знаменатель:

$$x(x + 5) \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} \right) = x(x + 5) \cdot \frac{1}{6}.$$

Раскрывая скобки, получаем:

$$(x + 5) + x = \frac{x(x + 5)}{6}.$$

Преобразуем выражения:

$$2x + 5 = \frac{x(x + 5)}{6}.$$

Шаг 4. Умножение обеих частей уравнения на 6

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 6:

$$6(2x + 5) = x(x + 5).$$

Раскроем скобки:

$$12x + 30 = x^2 + 5x.$$

Шаг 5. Перенос всех членов в одну сторону

Переносим все члены в одну сторону уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$x^2 + 5x — 12x — 30 = 0,$$ $$x^2 — 7x — 30 = 0.$$

Шаг 6. Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 — 7x — 30 = 0$ с помощью дискриминанта.

Для этого вычислим дискриминант $D$:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169.$$

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения $a = 1$, $b = -7$, $c = -30$:

$$x_1 = \frac{7 — 13}{2} = -3 \quad (\text{отрицательное значение, отклоняем}),$$ $$x_2 = \frac{7 + 13}{2} = 10.$$

Шаг 7. Ответ

Из полученных корней только $x_2 = 10$ имеет смысл, так как время не может быть отрицательным. Это означает, что первый комбайн может выполнить задание за 10 часов, работая один.

Ответ: первый комбайн может выполнить задание за 10 часов.