ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 70 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Аквариум объёмом 54 м^3 заполняется при помощи двух кранов. При этом первый кран работает 3 ч, а второй — 2 ч. Какова пропускная способность первого крана, если 1 м^3 он заполняет на 1 мин медленнее, чем второй?

Пусть $x$ (мин) — набирает 1 м³ воды первый кран, тогда:

• $x — 1$ (мин) — набирает 1 м³ воды второй кран;
• $\frac{3 \cdot 60}{x}$ (м³) — заполняет первый кран за 3 часа;
• $\frac{2 \cdot 60}{x — 1}$ (м³) — заполняет второй кран за 2 часа;

Объем аквариума равен 54 метра кубических, значит:

$$\frac{3 \cdot 60}{x} + \frac{2 \cdot 60}{x — 1} = 54 \quad | : 6;$$ $$\frac{30}{x} + \frac{20}{x — 1} = 9 \quad | \cdot x(x — 1);$$ $$30(x — 1) + 20x = 9x(x — 1);$$ $$30x — 30 + 20x = 9x^2 — 9x;$$ $$9x^2 — 59x + 30 = 0;$$ $$D = 59^2 — 4 \cdot 9 \cdot 30 = 3481 — 1080 = 2401, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{59 — 49}{2 \cdot 9} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{59 + 49}{2 \cdot 9} = \frac{108}{18} = 6;$$

Время заполнения 1 м³ вторым краном:

$$x_1 — 1 = \frac{5}{9} — 1 = -\frac{4}{9};$$ $$x_2 — 1 = 6 — 1 = 5;$$

Время не может быть отрицательным, значит:

$$x = 6 \ (\text{мин});$$ $$x — 1 = 5 \ (\text{мин});$$

Пропускная способность первого крана:

$$\frac{1}{x} \cdot 60 = \frac{1}{6} \cdot 60 = 10 \ (\text{м}^3/\text{ч});$$

Ответ: $10 \ \text{м}^3/\text{ч}$.

Дано:

• $x$ — время (в минутах), которое требуется первому крану для того, чтобы набрать 1 м³ воды.
• $x — 1$ — время (в минутах), которое требуется второму крану для того, чтобы набрать 1 м³ воды.
• Объем аквариума $V = 54 \, \text{м}^3$.
• Первый кран за 3 часа (180 минут) заполняет аквариум, то есть за 3 часа он пропускает $\frac{3 \cdot 60}{x}$ м³ воды.
• Второй кран за 2 часа (120 минут) заполняет аквариум, то есть за 2 часа он пропускает $\frac{2 \cdot 60}{x — 1}$ м³ воды.

Цель: найти пропускную способность первого крана, то есть сколько м³ воды он пропускает за 1 час.

Шаг 1. Составление уравнения для решения задачи

Сначала учтем, что за 3 часа оба крана совместно заполняют 54 м³ воды. Тогда сумма их пропускных способностей за эти 3 часа будет равна 54 м³:

$$\frac{3 \cdot 60}{x} + \frac{2 \cdot 60}{x — 1} = 54.$$

Упростим это уравнение. Разделим обе части на 6:

$$\frac{30}{x} + \frac{20}{x — 1} = 9.$$

Теперь умножим обе части на $x(x — 1)$ для того, чтобы избавиться от знаменателей:

$$30(x — 1) + 20x = 9x(x — 1).$$

Раскроем скобки:

$$30x — 30 + 20x = 9x^2 — 9x.$$

Преобразуем это в квадратное уравнение:

$$9x^2 — 59x + 30 = 0.$$

Шаг 2. Решение квадратного уравнения

Для нахождения корней этого уравнения используем дискриминант $D$:

$$D = b^2 — 4ac = (-59)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 30 = 3481 — 1080 = 2401.$$

Корни уравнения находим по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{59 — 49}{2 \cdot 9} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9},$$ $$x_2 = \frac{59 + 49}{2 \cdot 9} = \frac{108}{18} = 6.$$

Шаг 3. Интерпретация корней

Так как $x$ — это время в минутах, и оно должно быть положительным, то первый корень $x_1 = \frac{5}{9}$ минут не имеет физического смысла, так как это время слишком мало для работы крана. Оставляем второй корень:

$$x = 6 \, \text{мин}.$$

Таким образом, первый кран заполняет 1 м³ воды за 6 минут, а второй — за $6 — 1 = 5 \, \text{мин}$.

Шаг 4. Пропускная способность первого крана

Теперь, зная, что первый кран заполняет 1 м³ воды за 6 минут, вычислим его пропускную способность в м³ в час. За 1 час (60 минут) он будет пропускать:

$$\frac{1}{6} \cdot 60 = 10 \, \text{м}^3/\text{ч}.$$

Ответ:

Пропускная способность первого крана составляет $10 \, \text{м}^3/\text{ч}$.