ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Ha рисунке 5 изображен шестиугольник ABCDEF, составленный из двух прямоугольников, причем AB = 10, BC = CD = 3, DE = 2. Найдите:

а) периметр шестиугольника ABCDEF;

б) площадь шестиугольника ABCDEF;

в) площадь прямоугольника $AM_1M_2F$, если $AM_1 = x$ и $0\le x\le 7$;

г) площадь шестиугольника $M_{1}BC$$D$$M_1BCDEM_2$, если $M_1M_2 \parallel AF$ и $AM_1 = x$, где $7\le x\le 10.$

На рисунке 1 изображен шестиугольник $ABCDEF$, составленный из двух прямоугольников, причем $AB = 10$, $BC = CD = 3$, $DE = 2$.

а) Периметр шестиугольника $ABCDEF$:

$$AF=D^{\mathrm{\prime }}E=BC+DE=3+2=5;$$

$$AF = D’E = BC + DE = 3 + 2 = 5;$$ $$FE=A{D}^{\mathrm{\prime }}=AB-B{D}^{\mathrm{\prime }}=AB-CD=10-3=7;$$

$$FE = AD’ = AB — BD’ = AB — CD = 10 — 3 = 7;$$ $$P_{ABCDEF}=AB+BC+CD+DE+EF+FA;$$

$$P_{ABCDEF} = AB + BC + CD + DE + EF + FA;$$ $$P_{ABCDEF} = 10 + 3 + 3 + 2 + 7 + 5 = 30;$$

б) Площадь шестиугольника $ABCDEF$:

$$E{D}^{\mathrm{\prime }}=ED+CB=2+3=5;$$

$$ED’ = ED + CB = 2 + 3 = 5;$$ $$A{D}^{\mathrm{\prime }}=AB-CD=10-3=7;$$

$$AD’ = AB — CD = 10 — 3 = 7;$$ $$S_{BCD{D}^{\mathrm{\prime }}}=BC\cdot CD=3\cdot 3=9;$$

$$S_{BCDD’} = BC \cdot CD = 3 \cdot 3 = 9;$$ $$S_{AFE{D}^{\mathrm{\prime }}}=A{D}^{\mathrm{\prime }}\cdot E{D}^{\mathrm{\prime }}=7\cdot 5=35;$$

$$S_{AFED’} = AD’ \cdot ED’ = 7 \cdot 5 = 35;$$ $$S_{ABCDEF} = S_{BCDD’} + S_{AFED’} = 9 + 35 = 44;$$

в) Площадь прямоугольника $AM_1M_2F$, если $AM_1 = x$ и $0 \leq x \leq 7$:

$$A{D}^{\mathrm{\prime }}=AB-CD=10-3=7;$$

$$AD’ = AB — CD = 10 — 3 = 7;$$ $$M_1{M}_2=ED+CB=2+3=5;$$

$$M_1M_2 = ED + CB = 2 + 3 = 5;$$ $$S_{A{M}_1{M}_{2}F}=A{M}_1\cdot M_1{M}_2=x\cdot 5=5x;$$

$$S_{AM_1M_2F} = AM_1 \cdot M_1M_2 = x \cdot 5 = 5x;$$ $$0\le x\le 7;$$

$$0 \leq x \leq 7;$$ $$5\cdot 0\le 5x\le 5\cdot 7;$$

$$5 \cdot 0 \leq 5x \leq 5 \cdot 7;$$ $$0 \leq S_{AM_1M_2F} \leq 35;$$

г) Площадь шестиугольника $M_1BCDEM_2$, если $M_1M_2 \parallel AF$ и $AM_1 = x$, где $7 \leq x \leq 10$:

$$A{D}^{\mathrm{\prime }}=AB-CD=10-3=7;$$

$$AD’ = AB — CD = 10 — 3 = 7;$$ $$B{M}_1=AB-A{M}_1=10-x;$$

$$BM_1 = AB — AM_1 = 10 — x;$$ $$S_{M_{1}BCDE2}=S_{M_{1}BC{M}_2}=B{M}_1\cdot BC=(10-x)\cdot 3;$$

$$S_{M_1BCDE \ 2} = S_{M_1BCM_2} = BM_1 \cdot BC = (10 — x) \cdot 3;$$ $$7\le x\le 10;$$

$$7 \leq x \leq 10;$$ $$-10\le -x\le -7;$$

$$-10 \leq -x \leq -7;$$ $$0\le 10-x\le 3;$$

$$0 \leq 10 — x \leq 3;$$ $$0\cdot 3\le (10-x)\cdot 3\le 3\cdot 3;$$

$$0 \cdot 3 \leq (10 — x) \cdot 3 \leq 3 \cdot 3;$$ $$0 \leq S_{M_1BCM_2} \leq 9;$$

На рисунке 1 изображен шестиугольник $ABCDEF$, составленный из двух прямоугольников, причем $AB = 10$, $BC = CD = 3$, $DE = 2$.

а) Периметр шестиугольника $ABCDEF$

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Для шестиугольника $ABCDEF$ необходимо учесть все его стороны: $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EF$ и $FA$.

Рассмотрим, как вычисляются эти стороны:

Сторона $AF$:

Сторона $AF$ — это горизонтальная линия, которая соединяет вершины $A$ и $F$. Она состоит из двух частей:

• $BC = 3$
• $DE = 2$

Итак:

$$AF = BC + DE = 3 + 2 = 5.$$

Сторона $FE$:

Сторона $FE$ — это вертикальная линия, соединяющая вершины $F$ и $E$. Она равна разности между длиной стороны $AB$ и длиной стороны $CD$:

$$FE = AD’ = AB — CD = 10 — 3 = 7.$$

Периметр шестиугольника:

Периметр $P_{ABCDEF}$ шестиугольника — это сумма всех его сторон:

$$P_{ABCDEF} = AB + BC + CD + DE + EF + FA.$$

Подставляем значения:

$$P_{ABCDEF} = 10 + 3 + 3 + 2 + 7 + 5 = 30.$$

Итак, периметр шестиугольника $ABCDEF$ равен $30$ единиц длины.

б) Площадь шестиугольника $ABCDEF$

Площадь шестиугольника можно найти, разделив его на два прямоугольника и затем вычислив площадь каждого из них.

Длина стороны $ED’$:

Сначала вычислим длину стороны $ED’$. Это горизонтальная линия, которая состоит из двух частей:

• $ED = 2$
• $CB = 3$

Следовательно:

$$ED’ = ED + CB = 2 + 3 = 5.$$

Длина стороны $AD’$:

Сторона $AD’$ — это вертикальная линия, которая равна разности между длиной стороны $AB$ и длиной стороны $CD$:

$$AD’ = AB — CD = 10 — 3 = 7.$$

Площадь прямоугольника $BCDD’$:

Площадь прямоугольника с длинами сторон $BC$ и $CD$:

$$S_{BCDD’} = BC \cdot CD = 3 \cdot 3 = 9.$$

Площадь прямоугольника $AFED’$:

Площадь второго прямоугольника с длинами сторон $AD’$ и $ED’$:

$$S_{AFED’} = AD’ \cdot ED’ = 7 \cdot 5 = 35.$$

Общая площадь шестиугольника:

Площадь всего шестиугольника — это сумма площадей двух прямоугольников:

$$S_{ABCDEF} = S_{BCDD’} + S_{AFED’} = 9 + 35 = 44.$$

Итак, площадь шестиугольника $ABCDEF$ равна $44$ квадратных единиц.

в) Площадь прямоугольника $AM_1M_2F$, если $AM_1 = x$ и $0 \leq x \leq 7$

Для того чтобы найти площадь прямоугольника $AM_1M_2F$, выразим его площадь через переменную $x$, которая обозначает длину отрезка $AM_1$.

Длина стороны $AD’$:

Как и ранее, $AD’$ равна разности между длиной стороны $AB$ и длиной стороны $CD$:

$$AD’ = AB — CD = 10 — 3 = 7.$$

Длина стороны $M_1M_2$:

Сторона $M_1M_2$ — это сумма длин сторон $ED$ и $CB$:

$$M_1M_2 = ED + CB = 2 + 3 = 5.$$

Площадь прямоугольника $AM_1M_2F$:

Площадь прямоугольника $AM_1M_2F$ можно выразить как произведение его сторон $AM_1$ и $M_1M_2$:

$$S_{AM_1M_2F} = AM_1 \cdot M_1M_2 = x \cdot 5 = 5x.$$

Ограничения на $x$:

Длина $AM_1$ ограничена от 0 до 7:

$$0 \leq x \leq 7.$$

Следовательно, площадь прямоугольника также ограничена:

$$0 \leq 5x \leq 35.$$

Итак, площадь прямоугольника $AM_1M_2F$ варьируется от 0 до 35, в зависимости от значения $x$.

г) Площадь шестиугольника $M_1BCDEM_2$, если $M_1M_2 \parallel AF$ и $AM_1 = x$, где $7 \leq x \leq 10$

Для этого случая найдем площадь шестиугольника, который состоит из прямоугольников $M_1BCDEM_2$, и выражается через переменную $x$.

Длина стороны $AD’$:

Как и раньше:

$$AD’ = AB — CD = 10 — 3 = 7.$$

Длина стороны $BM_1$:

Длина $BM_1$ — это разность между длиной $AB$ и длиной $AM_1$:

$$BM_1 = AB — AM_1 = 10 — x.$$

Площадь прямоугольника $M_1BCM_2$:

Площадь прямоугольника $M_1BCM_2$ можно найти, умножив длину $BM_1$ на длину $BC$:

$$S_{M_1BCM_2} = BM_1 \cdot BC = (10 — x) \cdot 3 = 3(10 — x).$$

Ограничения на $x$:

У нас задано ограничение:

$$7 \leq x \leq 10.$$

Это означает, что:

$$-10 \leq -x \leq -7,$$ $$0 \leq 10 — x \leq 3.$$

Следовательно:

$$0 \cdot 3 \leq (10 — x) \cdot 3 \leq 3 \cdot 3.$$

Максимальное и минимальное значение площади:

Таким образом, площадь $S_{M_1BCM_2}$ изменяется в пределах от 0 до 9:

$$0 \leq S_{M_1BCM_2} \leq 9.$$

Итак, площадь шестиугольника $M_1BCDEM_2$ варьируется от 0 до 9 квадратных единиц в зависимости от значения $x$.