ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 65 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Два велосипедиста одновременно выехали из пункта Л в одном и том же направлении. Скорость первого на 2 км/ч больше скорости второго. Через 12 мин первый велосипедист остановился на б мин, чтобы устранить неисправность, и, возобновив движение, догнал второго велосипедиста на расстоянии 14 км от места своей остановки. Определите скорость велосипедистов.

Пусть $x$ (км/ч) — скорость второго велосипедиста, тогда:

• $x + 2$ (км/ч) — скорость первого велосипедиста;
• $\frac{14}{x+2}$ (ч) — время движения первого велосипедиста после остановки;

Первый велосипедист через 12 минут $\left( \frac{1}{5} \text{ часа} \right)$ совершил остановку на 6 минут $\left( \frac{1}{10} \text{ часа} \right)$, а затем преодолел еще 14 километров, значит он проделал путь равный:

$$\frac{1}{5}(x+2) + \frac{1}{10} \cdot 0 + 14 = \frac{x+2}{5} + 14 \ (\text{км});$$

Второй велосипедист все это время двигался без остановки, значит он проделал путь равный:

$$\frac{1}{5}x + \frac{1}{10}x + \frac{14}{x+2}x = \frac{3}{10}x + \frac{14x}{x+2} \ (\text{км});$$

Велосипедисты прошли одинаковое расстояние, значит:

$$\frac{x+2}{5} + 14 = \frac{3}{10}x + \frac{14x}{x+2} \quad | \cdot 10(x+2);$$ $$2(x+2)^2 + 14 \cdot 10(x+2) = 3x(x+2) + 14x \cdot 10;$$ $$2x^2 + 8x + 8 + 140x + 280 = 3x^2 + 6x + 140x;$$ $$x^2 — 2x — 288 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 288 = 4 + 1152 = 1156, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{2 — 34}{2} = -16 \ \text{и} \ x_2 = \frac{2 + 34}{2} = 18;$$

Скорость движения не может быть отрицательной, значит:

$$x = 18 \ (\text{км/ч});$$ $$x + 2 = 18 + 2 = 20 \ (\text{км/ч});$$

Ответ: $18 \ \text{км/ч}; \ 20 \ \text{км/ч}.$

Исходные данные:

• Пусть $x$ — это скорость второго велосипедиста (в км/ч).
• Тогда скорость первого велосипедиста будет $x + 2$ (в км/ч).
• Время, которое первый велосипедист тратит на движение после остановки, составит $\frac{14}{x + 2}$ часов, так как он преодолевает 14 км.

Шаг 1. Путь первого велосипедиста:

Первый велосипедист движется следующим образом:

Он едет 12 минут (или $\frac{1}{5}$ часа) с скоростью $x + 2$, то есть он за это время преодолевает:

$$\frac{1}{5} \cdot (x + 2) \text{ км}.$$

После этого он останавливается на 6 минут (или $\frac{1}{10}$ часа), но за это время путь не преодолевается.

Затем он преодолевает еще 14 км.

Таким образом, путь первого велосипедиста составляет:

$$\frac{1}{5}(x + 2) + \frac{1}{10} \cdot 0 + 14 = \frac{x + 2}{5} + 14 \text{ км}.$$

Шаг 2. Путь второго велосипедиста:

Второй велосипедист движется без остановок. За те же $\frac{1}{5}$ часа он проезжает:

$$\frac{1}{5} \cdot x \text{ км}.$$

Затем он едет еще $\frac{1}{10}$ часа и преодолевает:

$$\frac{1}{10} \cdot x \text{ км}.$$

Затем он преодолевает те же 14 км, что и первый велосипедист. Общее расстояние, пройденное вторым велосипедистом, составит:

$$\frac{1}{5} \cdot x + \frac{1}{10} \cdot x + \frac{14x}{x + 2} \text{ км}.$$

Шаг 3. Уравнение для равенства путей:

Поскольку оба велосипедиста прошли одинаковое расстояние, можно записать уравнение для равенства пройденных ими расстояний:

$$\frac{x + 2}{5} + 14 = \frac{3}{10} \cdot x + \frac{14x}{x + 2}.$$

Для избавления от дробей умножим обе части уравнения на 10:

$$10 \left( \frac{x + 2}{5} + 14 \right) = 10 \left( \frac{3}{10} \cdot x + \frac{14x}{x + 2} \right).$$

Умножим:

$$2(x + 2) + 140 = 3x + \frac{140x}{x + 2}.$$

Теперь у нас есть уравнение:

$$2(x + 2) + 140 = 3x + \frac{140x}{x + 2}.$$

Шаг 4. Преобразование уравнения:

Приводим все выражения к общему знаменателю:

$$2(x + 2)^2 + 140(x + 2) = 3x(x + 2) + 140x.$$

Распишем каждое из выражений:

$$2(x^2 + 4x + 4) + 140x + 280 = 3x^2 + 6x + 140x.$$

Упростим:

$$2x^2 + 8x + 8 + 140x + 280 = 3x^2 + 6x + 140x.$$

Преобразуем и собираем все выражения в одну сторону:

$$2x^2 + 8x + 140x + 280 + 8 — 3x^2 — 6x — 140x = 0.$$

Упрощаем:

$$-x^2 + 2x — 288 = 0.$$

Шаг 5. Решение квадратного уравнения:

Теперь решаем полученное квадратное уравнение:

$$x^2 — 2x — 288 = 0.$$

Для этого используем дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-288) = 4 + 1152 = 1156.$$

Корни уравнения по формуле:

$$x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{1156}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 34}{2} = -16,$$ $$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{1156}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 34}{2} = 18.$$

Шаг 6. Интерпретация результатов:

Так как скорость не может быть отрицательной, то правильным решением будет $x = 18$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста:

$$x + 2 = 18 + 2 = 20 \text{ км/ч}.$$

Ответ:

Скорость второго велосипедиста $x = 18$ км/ч, а скорость первого велосипедиста $x + 2 = 20$ км/ч.