ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 64 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Моторная лодка прошла 7 км по течению реки и 10 км против течения, затратив на путь по течению на 0,5 ч меньше, чем на путь против течения. Собственная скорость лодки равна 12 км/ч. Найдите скорость хода лодки против течения.

Пусть $x$ (км/ч) — скорость течения реки, тогда:

• $12 + x$ (км/ч) — скорость катера по течению реки;
• $12 — x$ (км/ч) — скорость катера против течения реки;
• $\frac{7}{12 + x}$ (ч) — время движения по течению;
• $\frac{10}{12 — x}$ (ч) — время движения против течения;

Катер затратил на путь по течению на 0,5 часа меньше, чем на путь против течения, следовательно:

$$\frac{7}{12 + x} + \frac{1}{2} = \frac{10}{12 — x} \quad | \cdot 2(12 + x)(12 — x);$$ $$7 \cdot 2(12 — x) + (12 + x)(12 — x) = 10 \cdot 2(12 + x);$$ $$14(12 — x) + (144 — x^2) = 20(12 + x);$$ $$168 — 14x + 144 — x^2 = 240 + 20x;$$ $$x^2 + 34x — 72 = 0;$$ $$D = 34^2 + 4 \cdot 72 = 1156 + 288 = 1444, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-34 — 38}{2} = -36 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-34 + 38}{2} = 2;$$

Скорость движения не может быть отрицательной, значит:

$$x = 2 \, (\text{км/ч});$$

Ответ: $2 \, \text{км/ч}$.

Для решения задачи, рассмотрим, что:

• Пусть скорость течения реки $x$ (км/ч).
• Собственная скорость лодки — 12 км/ч.
• Скорость лодки по течению будет равна $12 + x$ (км/ч).
• Скорость лодки против течения будет равна $12 — x$ (км/ч).

Нам известно, что лодка прошла 7 км по течению и 10 км против течения, при этом время, затраченное на путь по течению, на 0,5 часа меньше, чем на путь против течения.

Шаг 1: Составим уравнение для времени движения

Время, которое лодка затрачивает на путь, можно вычислить по формуле:

$$t = \frac{S}{V},$$

где $S$ — путь, а $V$ — скорость.

Время движения по течению:

$$t_{\text{по течению}} = \frac{7}{12 + x}.$$

Время движения против течения:

$$t_{\text{против течения}} = \frac{10}{12 — x}.$$

По условию задачи, время, затраченное на путь по течению, на 0,5 часа меньше, чем на путь против течения. Таким образом, можем записать следующее уравнение:

$$\frac{7}{12 + x} + 0,5 = \frac{10}{12 — x}.$$

Шаг 2: Решим уравнение

Для удобства избавимся от дробей. Умножим обе части уравнения на $2(12 + x)(12 — x)$, чтобы привести уравнение к более простому виду:

$$2(12 + x)(12 — x) \cdot \left( \frac{7}{12 + x} + 0,5 \right) = 2(12 + x)(12 — x) \cdot \frac{10}{12 — x}.$$

Первое слагаемое преобразуется:

$$2(12 + x)(12 — x) \cdot \frac{7}{12 + x} = 14(12 — x),$$

второе слагаемое:

$$2(12 + x)(12 — x) \cdot 0,5 = (12 + x)(12 — x),$$

и правая часть:

$$2(12 + x)(12 — x) \cdot \frac{10}{12 — x} = 20(12 + x).$$

Таким образом, уравнение преобразуется в следующее:

$$14(12 — x) + (144 — x^2) = 20(12 + x).$$

Шаг 3: Раскроем скобки и упростим выражение

Раскроем скобки:

$$14(12 — x) = 168 — 14x,$$ $$144 — x^2 = 144 — x^2,$$ $$20(12 + x) = 240 + 20x.$$

Подставляем это в уравнение:

$$168 — 14x + 144 — x^2 = 240 + 20x.$$

Теперь соберем все термины на одной стороне:

$$168 + 144 — 240 — x^2 — 14x — 20x = 0,$$ $$72 — x^2 — 34x = 0.$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Перепишем уравнение в стандартной форме:

$$x^2 + 34x — 72 = 0.$$

Для решения применим формулу дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 1$, $b = 34$, $c = -72$. Подставляем значения:

$$D = 34^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1156 + 288 = 1444.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-34 — \sqrt{1444}}{2} = \frac{-34 — 38}{2} = -36,$$ $$x_2 = \frac{-34 + \sqrt{1444}}{2} = \frac{-34 + 38}{2} = 2.$$

Шаг 5: Интерпретируем результат

Поскольку скорость течения не может быть отрицательной, оставляем только положительное значение:

$$x = 2 \, \text{км/ч}.$$

Ответ:

Скорость течения реки $x = 2 \, \text{км/ч}$.