ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 63 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Турист проплыл на байдарке 24 км по озеру и 9 км против течения реки за то же время, какое понадобилось ему, чтобы проплыть по течению 45 км. С какой скоростью плыл турист по озеру, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

Пусть $x$ (км/ч) — собственная скорость туриста по озеру, тогда:

• $x — 2$ (км/ч) — скорость туриста против течения реки;
• $x + 2$ (км/ч) — скорость туриста по течению реки;
• $\frac{24}{x}$ (ч) — время движения по озеру;
• $\frac{9}{x — 2}$ (ч) — время движения против течения;
• $\frac{45}{x + 2}$ (ч) — время движения по течению.

Время на пути по озеру и против течения равно времени на пути по течению, следовательно:

$$\frac{24}{x} + \frac{9}{x — 2} = \frac{45}{x + 2} \quad | \cdot x(x — 2)(x + 2);$$ $$24(x — 2)(x + 2) + 9x(x + 2) = 45x(x — 2);$$ $$24(x^2 — 4) + 9x^2 + 18x = 45x^2 — 90x;$$ $$24x^2 — 96 + 9x^2 + 18x = 45x^2 — 90x;$$ $$12x^2 — 108x + 96 = 0;$$ $$x^2 — 9x + 8 = 0;$$ $$D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 — 32 = 49, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8;$$

Скорость туриста против течения реки:

$$x_1 — 2 = 1 — 2 = -1 \, (\text{км/ч});$$ $$x_2 — 2 = 8 — 2 = 6 \, (\text{км/ч});$$

Скорость движения не может быть отрицательной, значит:

$$x = 8 \, (\text{км/ч});$$

Ответ: $8 \, (\text{км/ч})$.

Условия задачи:

• Турист проплыл 24 км по озеру.
• Турист проплыл 9 км против течения реки.
• Турист проплыл 45 км по течению реки.
• Время на пути по озеру и против течения реки равно времени на пути по течению реки.
• Скорость течения реки — 2 км/ч.

Нам нужно найти собственную скорость туриста по озеру (обозначим её через $x$).

Обозначения:

• $x$ — собственная скорость туриста по озеру (км/ч).
• $x — 2$ — скорость туриста против течения реки (км/ч), так как скорость течения реки равна 2 км/ч.
• $x + 2$ — скорость туриста по течению реки (км/ч), так как скорость течения реки равна 2 км/ч.
• $t_1 = \frac{24}{x}$ — время, затраченное туристом на преодоление 24 км по озеру.
• $t_2 = \frac{9}{x — 2}$ — время, затраченное туристом на преодоление 9 км против течения.
• $t_3 = \frac{45}{x + 2}$ — время, затраченное туристом на преодоление 45 км по течению.

Согласно условию задачи, время, затраченное на путь по озеру и против течения, равно времени, затраченному на путь по течению. То есть:

$$t_1 + t_2 = t_3$$

Подставляем выражения для времени:

$$\frac{24}{x} + \frac{9}{x — 2} = \frac{45}{x + 2}$$

Шаг 1: Умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель

Для избавления от дробей умножим обе части уравнения на знаменатель $x(x — 2)(x + 2)$. Это даст:

$$x(x — 2)(x + 2) \left( \frac{24}{x} + \frac{9}{x — 2} \right) = x(x — 2)(x + 2) \cdot \frac{45}{x + 2}$$

Упростим каждое слагаемое:

$$24(x — 2)(x + 2) + 9x(x + 2) = 45x(x — 2)$$

Шаг 2: Раскрытие скобок

Теперь раскроем все скобки:

$$24(x^2 — 4) + 9x(x + 2) = 45x(x — 2)$$ $$24x^2 — 96 + 9x^2 + 18x = 45x^2 — 90x$$

Шаг 3: Перенос всех членов на одну сторону

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

$$24x^2 + 9x^2 + 18x — 45x^2 + 90x — 96 = 0$$

Упростим:

$$(24x^2 + 9x^2 — 45x^2) + (18x + 90x) — 96 = 0$$ $$-12x^2 + 108x — 96 = 0$$

Шаг 4: Упрощение уравнения

Умножим все члены на -1, чтобы избавиться от минуса перед квадратным членом:

$$12x^2 — 108x + 96 = 0$$

Теперь разделим все члены на 12 для упрощения:

$$x^2 — 9x + 8 = 0$$

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Для решения квадратного уравнения используем формулу:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

Где $a = 1$, $b = -9$, $c = 8$. Подставляем значения:

$$x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 — 32}}{2}$$ $$x = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2}$$ $$x = \frac{9 \pm 7}{2}$$

Таким образом, у нас два корня:

$$x_1 = \frac{9 + 7}{2} = 8$$ $$x_2 = \frac{9 — 7}{2} = 1$$

Шаг 6: Интерпретация результатов

Поскольку собственная скорость туриста по озеру не может быть равной 1 км/ч (это слишком малая скорость для путешествия на байдарке), остаётся только решение $x = 8$.

Ответ:

Собственная скорость туриста по озеру равна 8 км/ч.