ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 62 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Члены школьного кружка натуралистов отправились на катере собирать лекарственные травы. Проплыв вниз по течению реки 35 км, они сделали трёхчасовую остановку, после чего вернулись назад. Определите скорость катера в стоячей воде, если всё путешествие заняло 7 ч, а скорость течения реки равна 3 км/ч.

Пусть $x$ (км/ч) — собственная скорость катера, тогда:

• $x + 3$ (км/ч) — скорость катера по течению реки;
• $x — 3$ (км/ч) — скорость катера против течения реки;
• $\frac{35}{x+3}$ (ч) — время движения по течению;
• $\frac{35}{x-3}$ (ч) — время движения против течения.

Катер сделал трехчасовую остановку в середине пути, а все путешествие заняло 7 часов, значит:

$$\frac{35}{x+3} + \frac{35}{x-3} + 3 = 7;$$ $$\frac{35}{x+3} + \frac{35}{x-3} = 4 \quad | \cdot (x+3)(x-3);$$ $$35(x-3) + 35(x+3) = 4(x+3)(x-3);$$ $$35x — 105 + 35x + 105 = 4(x^2 — 9);$$ $$70x = 4x^2 — 36;$$ $$4x^2 — 70x — 36 = 0;$$ $$2x^2 — 35x — 18 = 0;$$ $$D = 35^2 + 4 \cdot 2 \cdot 18 = 1225 + 144 = 1369, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{35 — 37}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{35 + 37}{2 \cdot 2} = \frac{72}{4} = 18;$$

Скорость движения не может быть отрицательной, значит:

$$x = 18 \, (\text{км/ч});$$

Ответ: $18 \, \text{км/ч}$.

Дано:

• Расстояние, которое катер проплывает по течению реки и против течения, равно 35 км.
• Катер делает остановку на 3 часа на середине пути.
• Общее время путешествия равно 7 часов.
• Скорость течения реки $v_{\text{теч}} = 3 \, \text{км/ч}$.

Необходимо найти собственную скорость катера $x$ в стоячей воде.

Обозначения:

• $x$ — собственная скорость катера в стоячей воде (км/ч).
• Скорость катера по течению: $x + 3 \, \text{км/ч}$ (так как течением катер помогает двигаться быстрее).
• Скорость катера против течения: $x — 3 \, \text{км/ч}$ (течением катер замедляется).

Время, затраченное на движение:

Время, затраченное на движение по течению:

Время на движение по течению можно вычислить по формуле:

$$t_{\text{по течению}} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{35}{x + 3}.$$

Время, затраченное на движение против течения:

Время на движение против течения аналогично:

$$t_{\text{против течения}} = \frac{35}{x — 3}.$$

Время на остановку:

Время, которое они потратили на остановку, равно 3 часа.

Общее время путешествия:

Из условия задачи известно, что общее время путешествия составило 7 часов. Таким образом, время, которое они потратили на движение (по течению и против течения) плюс время на остановку, должно быть равно 7 часам:

$$t_{\text{по течению}} + t_{\text{против течения}} + 3 = 7.$$

Подставляем выражения для времени:

$$\frac{35}{x+3} + \frac{35}{x-3} + 3 = 7.$$

Убираем 3 из правой части уравнения:

$$\frac{35}{x+3} + \frac{35}{x-3} = 4.$$

Решение уравнения:

Теперь решим это уравнение. Для этого нужно привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{35}{x+3}$ и $\frac{35}{x-3}$ — это произведение $(x+3)(x-3)$:

$$\frac{35}{x+3} + \frac{35}{x-3} = \frac{35(x-3) + 35(x+3)}{(x+3)(x-3)}.$$

Упрощаем числитель:

$$35(x-3) + 35(x+3) = 35x — 105 + 35x + 105 = 70x.$$

Таким образом, получаем:

$$\frac{70x}{(x+3)(x-3)} = 4.$$

Теперь умножим обе части уравнения на $(x+3)(x-3)$:

$$70x = 4(x+3)(x-3).$$

Раскрываем скобки в правой части уравнения:

$$(x+3)(x-3) = x^2 — 9,$$

и подставляем:

$$70x = 4(x^2 — 9).$$

Раскрываем правую часть:

$$70x = 4x^2 — 36.$$

Переносим все в одну сторону:

$$4x^2 — 70x — 36 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение.

Решение квадратного уравнения:

Для уравнения $4x^2 — 70x — 36 = 0$ найдем дискриминант $D$:

$$D = b^2 — 4ac = (-70)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-36) = 4900 + 576 = 5476.$$

Теперь находим корни уравнения по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},$$

где $a = 4$, $b = -70$, и $c = -36$. Подставляем значения:

$$x = \frac{-(-70) \pm \sqrt{5476}}{2 \cdot 4} = \frac{70 \pm 74}{8}.$$

Получаем два корня:

$$x_1 = \frac{70 — 74}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{70 + 74}{8} = \frac{144}{8} = 18.$$

Выбор правильного корня:

Скорость катера не может быть отрицательной, поэтому $x_1 = -\frac{1}{2}$ отвергаем. Оставляем:

$$x = 18 \, \text{км/ч}.$$

Ответ:

Скорость катера в стоячей воде составляет $18 \, \text{км/ч}$.