ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 61 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Два парохода одновременно вышли из порта: один на север, другой на восток. Через 2 ч расстояние между ними оказалось равным 60 км. Найдите скорость каждого парохода, зная, что скорость одного из них на 6 км/ч больше скорости другого.

Пусть $x$ (км/ч) — скорость первого парохода, тогда:

• $x + 6$ (км/ч) — скорость второго парохода;
• $2x$ (км) — проплыл первый пароход за 2 часа;
• $2(x + 6)$ (км) — проплыл второй пароход за 2 часа;

Один пароход плыл на север, другой на восток, а через 2 часа расстояние между ними было равно 60 километров, значит:

$$\sqrt{(2x)^2 + (2 \cdot (x + 6))^2} = 60;$$ $$\sqrt{4x^2 + (2x + 12)^2} = 60;$$ $$\sqrt{4x^2 + 4x^2 + 48x + 144} = 60;$$ $$\sqrt{8x^2 + 48x + 144} = 60;$$ $$8x^2 + 48x + 144 = 3600;$$ $$8x^2 + 48x — 3456 = 0;$$ $$x^2 + 6x — 432 = 0;$$ $$D = 6^2 + 4 \cdot 432 = 36 + 1728 = 1754, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-6 — 42}{2} = -24 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-6 + 42}{2} = 18;$$

Скорость движения не может быть отрицательной, значит:

$$x = 18 \, (\text{км/ч});$$ $$x + 6 = 18 + 6 = 24 \, (\text{км/ч});$$

Ответ: $18 \, \text{км/ч}; \, 24 \, \text{км/ч}.$

Обозначения и вводные данные:

• Пусть скорость первого парохода — $x$ км/ч (направлен на север).
• Тогда скорость второго парохода, который движется на восток, будет $x + 6$ км/ч (так как скорость второго парохода на 6 км/ч больше).

Через 2 часа:

• Первый пароход проплывает $2x$ км (поскольку его скорость $x$ км/ч).
• Второй пароход проплывает $2(x + 6)$ км (поскольку его скорость $x + 6$ км/ч).

Нам известно, что через 2 часа расстояние между пароходами равно 60 км. Так как пароходы движутся под прямым углом (один на север, другой на восток), то можно применить теорему Пифагора для нахождения расстояния между ними.

Решение задачи:

Используем теорему Пифагора:

Расстояние между пароходами будет гипотенузой прямоугольного треугольника, где катеты — это пути, пройденные каждым из пароходов. Расстояние между ними через 2 часа можно выразить следующим образом:

$$\sqrt{(2x)^2 + (2(x + 6))^2} = 60$$

Подставим выражения для расстояний:

Подставим в уравнение пути, пройденные пароходами:

$$\sqrt{(2x)^2 + (2(x + 6))^2} = 60$$

Раскроем скобки:

$$\sqrt{4x^2 + (2x + 12)^2} = 60$$

Далее раскроем квадрат второго слагаемого:

$$\sqrt{4x^2 + (4x^2 + 48x + 144)} = 60$$

Упростим выражение:

$$\sqrt{8x^2 + 48x + 144} = 60$$

Избавимся от квадратного корня:

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$$8x^2 + 48x + 144 = 3600$$

Приведем уравнение к стандартному виду:

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$8x^2 + 48x + 144 — 3600 = 0$$

Упростим:

$$8x^2 + 48x — 3456 = 0$$

Разделим все коэффициенты на 8, чтобы упростить уравнение:

$$x^2 + 6x — 432 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

Для решения уравнения $x^2 + 6x — 432 = 0$ воспользуемся формулой для решения квадратных уравнений:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

В нашем случае $a = 1$, $b = 6$, $c = -432$. Подставляем в формулу:

$$D = b^2 — 4ac = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-432) = 36 + 1728 = 1764$$

Теперь находим корни:

$$x = \frac{-6 \pm \sqrt{1764}}{2} = \frac{-6 \pm 42}{2}$$

Таким образом, получаем два значения для $x$:

$$x_1 = \frac{-6 — 42}{2} = -24 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-6 + 42}{2} = 18$$

Отбираем подходящее значение:

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем значение $x = 18$ км/ч.

Нахождение скорости второго парохода:

Скорость второго парохода будет на 6 км/ч больше:

$$x + 6 = 18 + 6 = 24 \, \text{км/ч}$$

Ответ:

Скорость первого парохода составляет 18 км/ч, а скорость второго парохода — 24 км/ч.