ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 60 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Велосипедист проехал 96 км на 2 ч быстрее, чем предполагал. При этом за каждый час он проезжал на 1 км больше, чем намеревался проезжать за 1 ч 15 мин. С какой скоростью ехал велосипедист?

Пусть $x$ (км/ч) — планируемая скорость велосипедиста, а $y$ (км/ч) — его фактическая скорость;

За каждый час велосипедист проезжал на 1 км больше, чем намеревался проехать за 1 час 15 минут $\left(\frac{5}{4}\text{ часа}\right)$:

$$y=\frac{5}{4}x+1;$$$$y=1,25x+1;$$

Велосипедист проехал 96 км на 2 часа быстрее, чем предполагал:

$$\frac{96}{x}=\frac{96}{y}+2;$$$$\frac{96}{x}=\frac{96}{1,25x+1}+2\mathrm{\mid }\cdot x(1,25x+1);$$$$96(1,25x+1)=96x+2x(1,25x+1);$$$$120x+96=96x+2,5x^2+2x;$$$$2,5x^2-22x-96=0;$$$$5x^2-44x-192=0;$$$$D={44}^2+4\cdot 5\cdot 192=1936+3840=5776,\text{ тогда:}$$$$x_1=\frac{44-76}{2\cdot 5}=\frac{-32}{10}=-3,2;$$$$x_2=\frac{44+76}{2\cdot 5}=\frac{120}{10}=12;$$

Скорость движения не может быть отрицательной, значит:

$$x=12(\text{км/ч});$$$$y=1,25\cdot 12+1=15+1=16(\text{км/ч});$$

Ответ: $16\text{км/ч}$.

Условие задачи:

Велосипедист проехал 96 км на 2 часа быстрее, чем предполагал. При этом за каждый час он проезжал на 1 км больше, чем намеревался проезжать за 1 час 15 минут (или $\frac{5}{4}$ часа). Нужно найти фактическую скорость велосипедиста.

Обозначим переменные:

• Пусть $x$ — это планируемая скорость велосипедиста в км/ч.
• $y$ — это фактическая скорость велосипедиста в км/ч.

1. Первая связь между скоростью и временем

Из условия задачи известно, что велосипедист за каждый час проезжал на 1 км больше, чем намеревался проезжать за $1\text{ ч }15\text{ мин}$, то есть за $\frac{5}{4}$ часа. Это можно выразить следующим образом:

• Планируемая скорость $x$ означает, что за $\frac{5}{4}$ часа велосипедист должен был проехать $x\times \frac{5}{4}$ километров.
• Однако фактически велосипедист проезжал на 1 км больше за каждый час, то есть его фактическая скорость $y$ удовлетворяет уравнению:

$$y=\frac{5}{4}x+1$$

Это уравнение показывает, что фактическая скорость $y$ больше планируемой на 1 км за каждый час.

2. Вторая связь: время путешествия

Теперь рассмотрим, что велосипедист проехал 96 км на 2 часа быстрее, чем планировал. Планируемое время для прохождения 96 км при скорости $x$ составляет $\frac{96}{x}$ часов. Фактическое время, которое он затратил на 96 км, при фактической скорости $y$ составляет $\frac{96}{y}$ часов.

По условию задачи, фактическое время на 2 часа меньше планируемого, то есть:

$$\frac{96}{x}=\frac{96}{y}+2$$

Теперь подставим $y=\frac{5}{4}x+1$ из первого уравнения в это уравнение:

$$\frac{96}{x}=\frac{96}{\frac{5}{4}x+1}+2$$

3. Умножим обе части на $x(\frac{5}{4}x+1)$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на $x(\frac{5}{4}x+1)$:

$$96(\frac{5}{4}x+1)=96x+2x(\frac{5}{4}x+1)$$

Раскроем скобки:

$$96(\frac{5}{4}x+1)=96\times \frac{5}{4}x+96=120x+96$$$$96x+2x(\frac{5}{4}x+1)=96x+2x\times \frac{5}{4}x+2x=96x+\frac{5}{2}{x}^2+2x$$

Теперь у нас получается следующее уравнение:

$$120x+96=96x+\frac{5}{2}{x}^2+2x$$

4. Упростим уравнение

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

$$120x+96-96x-2x=\frac{5}{2}{x}^2$$$$22x+96=\frac{5}{2}{x}^2$$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$44x+192=5x^2$$

Теперь перенесем все в одну сторону:

$$5x^2-44x-192=0$$

5. Решим квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение $5x^2-44x-192=0$. Для этого используем дискриминант.

Дискриминант $D$ для уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ вычисляется по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

В нашем случае $a=5$, $b=-44$, $c=-192$:

$$D=(-44{)}^2-4\times 5\times (-192)=1936+3840=5776$$

Теперь найдём корни уравнения по формуле:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения $b=-44$, $D=5776$, $a=5$:

$$x=\frac{44\pm \sqrt{5776}}{2\times 5}=\frac{44\pm 76}{10}$$

Получаем два корня:

$$x_1=\frac{44-76}{10}=\frac{-32}{10}=-3.2(\text{скорость не может быть отрицательной})$$$$x_2=\frac{44+76}{10}=\frac{120}{10}=12$$

Таким образом, планируемая скорость велосипедиста $x=12$ км/ч.

6. Найдём фактическую скорость

Теперь, зная, что $x=12$ км/ч, подставим это значение в выражение для фактической скорости:

$$y=\frac{5}{4}\cdot 12+1=15+1=16\text{км/ч}$$

Ответ:

Фактическая скорость велосипедиста: $16\text{км/ч}$.