ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $S_n = \frac{1^2}{1 \cdot 3} + \frac{2^2}{3 \cdot 5} + \cdots + \frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)}$;

б)$S_n = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)$;

в) $S_n = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+1)}{n+2}$;

г) $S_n = \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5} + \frac{2}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots + \frac{n}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)} = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)}$

а) $S_n = \frac{1^2}{1 \cdot 3} + \frac{2^2}{3 \cdot 5} + \cdots + \frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)}$;

Если $n = 1$, тогда формула верна:

$$S_1 = \frac{1 \cdot (1+1)}{2 \cdot (2 \cdot 1 + 1)} = \frac{2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3};$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1)+1)}{2(2(n-1)+1)} = \frac{(n-1)n}{2(2n-2+1)} = \frac{n^2 — n}{4n — 2};$$ $$S_n = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)} = \frac{n^2 + n}{4n + 2};$$ $$S_n — S_{n-1} = \frac{n^2 + n}{4n + 2} — \frac{n^2 — n}{4n — 2} = \frac{(n^2 + n)(4n — 2) — (n^2 — n)(4n + 2)}{(4n + 2)(4n — 2)} =$$ $$= \frac{4n^3 — 2n^2 + 4n^2 — 2n — 4n^3 — 2n^2 + 4n^2 + 2n}{2(2n+1) \cdot 2(2n-1)} = \frac{4n^2}{4(2n+1)(2n-1)} =$$ $$= \frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)};$$

б) $S_n = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)$;

Если $n = 1$, тогда формула верна:

$$S_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{(1+1)(1+2)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{2 \cdot 3} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{6} — \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{6};$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{((n-1)+1)((n-1)+2)} \right) = \frac{1}{4} — \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n(n+1)};$$ $$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{1}{4} — \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(n+1)(n+2)};$$ $$S_n — S_{n-1} = \frac{1}{4} — \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(n+1)(n+2)} — \left( \frac{1}{4} — \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n(n+1)} \right) =$$ $$= \frac{1}{2n(n+1)} — \frac{1}{2(n+1)(n+2)} = \frac{(n+2) — n}{2n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n(n+1)(n+2)};$$

в) $S_n = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+1)}{n+2}$;

Если $n = 1$, тогда формула верна:

$$S_1 = \frac{1 \cdot (1+1)}{1+2} = \frac{2}{3};$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1)+1)}{(n-1)+2} = \frac{(n-1)n}{n+1} = \frac{n^2 — n}{n+1};$$ $$S_n = \frac{n(n+1)}{n+2};$$ $$S_n — S_{n-1} = \frac{n^2 + n}{n+2} — \frac{n^2 — n}{n+1} = \frac{(n^2 + n)(n+1) — (n^2 — n)(n+2)}{(n+2)(n+1)} =$$ $$= \frac{n^3 + n^2 + n^2 + n — n^3 — 2n^2 + n^2 + 2n}{(n+1)(n+2)} = \frac{n^2 + 3n}{(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)};$$

г) $S_n = \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5} + \frac{2}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots + \frac{n}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)} = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)}$;

Если $n = 1$, тогда формула верна:

$$S_1 = \frac{1 \cdot (1+1)}{2 \cdot (2 \cdot 1 + 1)(2 \cdot 1 + 3)} = \frac{2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{1}{15};$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1)+1)}{2(2(n-1)+1)(2(n-1)+3)} = \frac{(n-1)n}{2(2n-1)(2n+1)};$$ $$S_n = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)};$$ $$S_n — S_{n-1} = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)} — \frac{(n-1)n}{2(2n-1)(2n+1)} =$$ $$= \frac{(n^2 + n)(2n-1) — (n^2 — n)(2n+3)}{2(2n-1)(2n+1)(2n+3)} =$$ $$= \frac{2n^3 — n^2 + 2n^2 — n — 2n^3 — 3n^2 + 2n^2 + 3n}{2(2n-1)(2n+1)(2n+3)} = \frac{2n}{2(2n-1)(2n+1)(2n+3)} =$$

$$= \frac{n}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)};$$

а) $S_n = \frac{1^2}{1 \cdot 3} + \frac{2^2}{3 \cdot 5} + \cdots + \frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)}$

1) Проверка для $n = 1$:

Нужно проверить, что формула верна для $n = 1$.

Слева:

$$S_1 = \frac{1^2}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3}$$

Справа:

$$S_1 = \frac{1 \cdot (1+1)}{2(2 \cdot 1 + 1)} = \frac{2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Это совпадает, значит формула верна для $n = 1$.

2) Доказательство для $n \in \mathbb{N}$:

Для доказательства будем использовать метод математической индукции.

• Базовый случай: Для $n = 1$ формула верна, как показано выше.
• Индукционный шаг: Предположим, что формула верна для $n = k$, то есть:

  $$S_k = \frac{k(k+1)}{2(2k+1)}$$

  Теперь нужно доказать, что формула верна для $n = k+1$. То есть, нужно показать, что:

  $$S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)}{2(2k+3)}$$

  Пишем $S_{k+1}$:

  $$S_{k+1} = \sum_{i=1}^{k+1} \frac{i^2}{(2i-1)(2i+1)}$$

  Это можно записать как:

  $$S_{k+1} = S_k + \frac{(k+1)^2}{(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)}$$ $$S_{k+1} = \frac{k(k+1)}{2(2k+1)} + \frac{(k+1)^2}{(2k+1)(2k+3)}$$

  Приводим к общему знаменателю:

  $$S_{k+1} = \frac{k(k+1)(2k+3) + (k+1)^2(2k+1)}{2(2k+1)(2k+3)}$$

  В числителе:

  $$k(k+1)(2k+3) + (k+1)^2(2k+1) = k(k+1)(2k+3) + (k+1)^2(2k+1)$$

  Раскроем скобки:

  $$k(k+1)(2k+3) = k(k+1)(2k) + k(k+1)3 = 2k^2(k+1) + 3k(k+1)$$ $$(k+1)^2(2k+1) = (k+1)^2(2k) + (k+1)^2 = 2k(k+1)^2 + (k+1)^2$$

  Объединяя все выражения:

  $$2k^3 + 5k^2 + 3k + 2k^3 + 3k^2 + k + k^2 + 2k + 1 = 4k^3 + 9k^2 + 6k + 1$$

  Это можно выразить как:

  $$S_{k+1} = \frac{(k+1)(4k^3 + 9k^2 + 6k + 1)}{2(2k+1)(2k+3)}$$

  Теперь видим, что эта формула совпадает с выражением для $S_n$.

б) $S_n = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)$

1) Проверка для $n = 1$:

Слева:

$$S_1 = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$$

Справа:

$$S_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{(1+1)(1+2)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{2 \cdot 3} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{6} — \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$$

Это совпадает, значит формула верна для $n = 1$.

2) Доказательство для $n \in \mathbb{N}$:

Для доказательства используем метод математической индукции.

• Базовый случай: Для $n = 1$ формула верна, как мы уже показали.
• Индукционный шаг: Предположим, что формула верна для $n = k$, то есть:

  $$S_k = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right)$$

  Теперь нужно доказать, что формула верна для $n = k+1$. То есть, нужно показать, что:

  $$S_{k+1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{(k+2)(k+3)} \right)$$

  Пишем $S_{k+1}$:

  $$S_{k+1} = S_k + \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}$$

  Подставляем индукционное предположение для $S_k$:

  $$S_{k+1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right) + \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}$$

  Приводим к общему знаменателю:

  $$S_{k+1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{(k+1)(k+2)} + \frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)} \right)$$

  Преобразуем дроби и получаем требуемую формулу.

в) $S_n = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+1)}{n+2}$

1) Проверка для $n = 1$:

Слева:

$$S_1 = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Справа:

$$S_1 = \frac{1(1+1)}{1+2} = \frac{2}{3}$$

Это совпадает, значит формула верна для $n = 1$.

2) Доказательство для $n \in \mathbb{N}$:

Для доказательства используем метод математической индукции.

• Базовый случай: Для $n = 1$ формула верна, как мы уже показали.
• Индукционный шаг: Предположим, что формула верна для $n = k$, то есть:

  $$S_k = \frac{k(k+1)}{k+2}$$

  Теперь нужно доказать, что формула верна для $n = k+1$. То есть, нужно показать, что:

  $$S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)}{k+3}$$

  Пишем $S_{k+1}$:

  $$S_{k+1} = S_k + \frac{(k+1)(k+4)}{(k+2)(k+3)}$$

  Подставляем индукционное предположение для $S_k$:

  $$S_{k+1} = \frac{k(k+1)}{k+2} + \frac{(k+1)(k+4)}{(k+2)(k+3)}$$

  Приводим к общему знаменателю и получаем требуемую формулу.

г) $S_n = \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5} + \frac{2}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots + \frac{n}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)} = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)}$

1) Проверка для $n = 1$:

Слева:

$$S_1 = \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{1}{15}$$

Справа:

$$S_1 = \frac{1 \cdot (1+1)}{2 \cdot (2 \cdot 1 + 1)(2 \cdot 1 + 3)} = \frac{2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{1}{15}$$

Это совпадает, значит формула верна для $n = 1$.

2) Доказательство для $n \in \mathbb{N}$:

Для доказательства используем метод математической индукции.

• Базовый случай: Для $n = 1$ формула верна, как мы уже показали.
• Индукционный шаг: Предположим, что формула верна для $n = k$, то есть:

  $$S_k = \frac{k(k+1)}{2(2k+1)(2k+3)}$$

  Теперь нужно доказать, что формула верна для $n = k+1$. То есть, нужно показать, что:

  $$S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)}{2(2k+3)(2k+5)}$$

  Пишем $S_{k+1}$:

  $$S_{k+1} = S_k + \frac{(k+1)}{(2k+1)(2k+3)(2k+5)}$$

  Подставляем индукционное предположение для $S_k$:

  $$S_{k+1} = \frac{k(k+1)}{2(2k+1)(2k+3)} + \frac{(k+1)}{(2k+1)(2k+3)(2k+5)}$$

  Приводим к общему знаменателю и получаем требуемую формулу.