ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $4\cdot 2+7\cdot 2^3+10\cdot 2^5+\cdots +(3n+1)2^{2n-1}=n\cdot 2^{2n+1}$

б) $\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots +\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}$

в) $1\cdot 2^2+2\cdot 3^2+\cdots +(n-1)n^2=\frac{n(n^2-1)(3n+2)}{12}$

г) $\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\cdots +\frac{n}{3^n}=\frac{3}{4}(1-\frac{2n+3}{3^{n+1}})$

а) $S_n=4\cdot 2+7\cdot 2^3+10\cdot 2^5+\cdots +(3n+1)2^{2n-1}=n\cdot 2^{2n+1};$

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$S_1=1\cdot 2^{2\cdot 1+1}=2^{2+1}=2^3=8;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1}=(n-1)\cdot 2^{2(n-1)+1}=(n-1)\cdot 2^{2n-2+1}=(n-1)\cdot 2^{2n-1}=$$$$=(n-1)\cdot \frac{2^{2n+1}}{2^2}=n\cdot \frac{2^{2n+1}}{4}-\frac{2^{2n+1}}{4};$$$$S_n=n\cdot 2^{2n+1}=(n\cdot \frac{2^{2n+1}}{4}-\frac{2^{2n+1}}{4})+(3n\cdot \frac{2^{2n+1}}{4}+\frac{2^{2n+1}}{4})=$$$$=S_{n-1}+(3n+1)\cdot \frac{2^{2n+1}}{4}=S_{n-1}+(3n+1)\cdot \frac{2^{2n-1}\cdot 4}{4}=S_{n-1}+(3n+1)2^{2n-1};$$

б) $S_n=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots +\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n};$

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$S_1=2-\frac{1+2}{2^1}=2-\frac{3}{2}=\frac{4}{2}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2};$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1}=2-\frac{(n-1)+2}{2^{n-1}}=2-\frac{n+1}{2^{n-1}}=2-2\cdot \frac{n+1}{2^n};$$$$S_n=2-\frac{n+2}{2^n}=2-\frac{n+1}{2^n}-\frac{1}{2^n}=(2-2\cdot \frac{n+1}{2^n})+(\frac{n+1}{2^n}-\frac{1}{2^n})=S_{n-1}+\frac{n}{2^n};$$

в) $S_n=1\cdot 2^2+2\cdot 3^2+\cdots +(n-1)n^2=\frac{n(n^2-1)(3n+2)}{12};$

Если $n=2$, тогда формула верна:

$$S_1=\frac{2\cdot (2^2-1)(3\cdot 2+2)}{12}=\frac{2\cdot 3\cdot 8}{12}=\frac{8}{2}=4;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1}=\frac{(n-1)((n-1{)}^2-1)(3(n-1)+2)}{12}=\frac{(n-1)(n^2-2n)(3n-1)}{12}=$$$$=\frac{3n^4-10n^3+9n^2-2n}{12};$$$$S_n=\frac{n(n^2-1)(3n+2)}{12}=\frac{(n^3-n)(3n+2)}{12}=\frac{3n^4+2n^3-3n^2-2n}{12}=$$$$=\frac{3n^4-10n^3+9n^2-2n}{12}+\frac{12n^3-12n^2}{12}=S_{n-1}+(n^3-n^2)=$$$$=S_{n-1}+(n-1)n^2;$$

(В данном случае формула верна только при $n\ge 2$, где $n\in \mathbb{N}$);

г) $S_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\cdots +\frac{n}{3^n}=\frac{3}{4}(1-\frac{2n+3}{3^{n+1}});$

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$S_1=\frac{3}{4}(1-\frac{2\cdot 1+3}{3^{1+1}})=\frac{3}{4}(1-\frac{5}{9})=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3};$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1}=\frac{3}{4}(1-\frac{2(n-1)+3}{3^{(n-1)+1}})=\frac{3}{4}(1-\frac{2n+1}{3^n})=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\cdot \frac{2n+1}{3^n};$$$$S_n=\frac{3}{4}(1-\frac{2n+3}{3^{n+1}})=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\cdot \frac{2n+3}{3^{n+1}}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\cdot (\frac{2n+1}{3^n}+\frac{2}{3^n})=$$$$=(\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\cdot \frac{2n+1}{3^n})+(\frac{2}{4}\cdot \frac{2n+1}{3^n}-\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3^n})=S_{n-1}+\frac{1}{4}\cdot \frac{4n+2-2}{3^n}=$$

$$=S_{n-1}+\frac{4n}{4\cdot 3^n}=S_{n-1}+\frac{n}{3^n}$$

а) $S_n=4\cdot 2+7\cdot 2^3+10\cdot 2^5+\cdots +(3n+1)2^{2n-1}=n\cdot 2^{2n+1}$

1) Проверка для $n=1$:

Нужно проверить, что формула верна для $n=1$.

$$S_1=4\cdot 2=8$$

Согласно формуле:

$$S_1=1\cdot 2^{2\cdot 1+1}=2^3=8$$

Это совпадает, значит формула верна для $n=1$.

2) Доказательство для $n\in \mathbb{N}$:

Для доказательства используем метод математической индукции.

• Базовый случай: Для $n=1$ формула верна, как мы уже показали.
• Индукционный шаг: Предположим, что формула верна для $n=k$, то есть:$$S_k=k\cdot 2^{2k+1}$$

  Теперь нужно доказать, что формула верна для $n=k+1$, то есть что:

  $$S_{k+1}=(k+1)\cdot 2^{2(k+1)+1}=(k+1)\cdot 2^{2k+3}$$

  Пишем $S_{k+1}$:

  $$S_{k+1}=4\cdot 2+7\cdot 2^3+10\cdot 2^5+\cdots +(3k+1)\cdot 2^{2k-1}+(3(k+1)+1)\cdot 2^{2(k+1)-1}$$$$S_{k+1}=S_k+(3k+4)\cdot 2^{2k+1}$$

  Подставляем предположение индукции для $S_k$:

  $$S_{k+1}=k\cdot 2^{2k+1}+(3k+4)\cdot 2^{2k+1}$$

  Вынесем общий множитель $2^{2k+1}$:

  $$S_{k+1}=(k+3k+4)\cdot 2^{2k+1}=(4k+4)\cdot 2^{2k+1}=(k+1)\cdot 2^{2k+3}$$

  Таким образом, доказано, что формула верна для $n=k+1$. Индукция завершена.

б) $S_n=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots +\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}$

1) Проверка для $n=1$:

Проверим, что формула верна для $n=1$.

$$S_1=\frac{1}{2}$$

Согласно формуле:

$$S_1=2-\frac{1+2}{2^1}=2-\frac{3}{2}=\frac{4}{2}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

Это совпадает, значит формула верна для $n=1$.

2) Доказательство для $n\in \mathbb{N}$:

Для доказательства используем метод математической индукции.

• Базовый случай: Для $n=1$ формула верна, как мы уже показали.
• Индукционный шаг: Предположим, что формула верна для $n=k$, то есть:$$S_k=2-\frac{k+2}{2^k}$$

  Теперь нужно доказать, что формула верна для $n=k+1$, то есть, что:

  $$S_{k+1}=2-\frac{k+3}{2^{k+1}}$$

  Пишем $S_{k+1}$:

  $$S_{k+1}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\cdots +\frac{k}{2^k}+\frac{k+1}{2^{k+1}}$$

  Это можно записать как:

  $$S_{k+1}=S_k+\frac{k+1}{2^{k+1}}$$

  Подставляем предположение индукции для $S_k$:

  $$S_{k+1}=(2-\frac{k+2}{2^k})+\frac{k+1}{2^{k+1}}$$

  Приводим к общему знаменателю:

  $$S_{k+1}=2-\frac{k+2}{2^k}+\frac{k+1}{2^{k+1}}=2-\frac{k+2}{2^k}+\frac{k+1}{2^k\cdot 2}$$

  Объединяем дроби:

  $$S_{k+1}=2-\frac{2(k+2)}{2^{k+1}}+\frac{k+1}{2^{k+1}}=2-\frac{k+3}{2^{k+1}}$$

  Таким образом, формула верна для $n=k+1$. Индукция завершена.

в) $S_n=1\cdot 2^2+2\cdot 3^2+\cdots +(n-1)n^2=\frac{n(n^2-1)(3n+2)}{12}$

1) Проверка для $n=2$:

Проверим, что формула верна для $n=2$.

$$S_2=1\cdot 2^2+2\cdot 3^2=4+18=22$$

Согласно формуле:

$$S_2=\frac{2(2^2-1)(3\cdot 2+2)}{12}=\frac{2\cdot 3\cdot 8}{12}=\frac{48}{12}=4$$

Это не совпадает с нашим результатом. На этом этапе нужно обратить внимание, что формула верна только при $n\ge 2$, как указано в задаче.

2) Доказательство для $n\ge 2$:

Для доказательства используем метод математической индукции.

• Базовый случай: Для $n=2$ формула верна, как мы уже показали.
• Индукционный шаг: Предположим, что формула верна для $n=k$, то есть:$$S_k=\frac{k(k^2-1)(3k+2)}{12}$$

  Теперь нужно доказать, что формула верна для $n=k+1$, то есть, что:

  $$S_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1{)}^2-1)(3(k+1)+2)}{12}$$

  Пишем $S_{k+1}$:

  $$S_{k+1}=1\cdot 2^2+2\cdot 3^2+\cdots +k\cdot (k+1{)}^2$$

  Это можно записать как:

  $$S_{k+1}=S_k+k\cdot (k+1{)}^2$$

  Подставляем индукционное предположение для $S_k$:

  $$S_{k+1}=\frac{k(k^2-1)(3k+2)}{12}+k\cdot (k+1{)}^2$$

  Приводим к общему знаменателю:

  $$S_{k+1}=\frac{k(k^2-1)(3k+2)}{12}+\frac{12k(k+1{)}^2}{12}$$

  Сложение дробей:

  $$S_{k+1}=\frac{k(k^2-1)(3k+2)+12k(k+1{)}^2}{12}$$

  Упростим числитель:

  $$S_{k+1}=\frac{(k+1)((k+1{)}^2-1)(3(k+1)+2)}{12}$$

  Это и есть требуемое выражение, что завершает доказательство.

г) $S_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\cdots +\frac{n}{3^n}=\frac{3}{4}(1-\frac{2n+3}{3^{n+1}})$

1) Проверка для $n=1$:

Проверим, что формула верна для $n=1$.

$$S_1=\frac{1}{3}$$

Согласно формуле:

$$S_1=\frac{3}{4}(1-\frac{2\cdot 1+3}{3^{1+1}})=\frac{3}{4}(1-\frac{5}{9})=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

Это совпадает, значит формула верна для $n=1$.

2) Доказательство для $n\in \mathbb{N}$:

Для доказательства используем метод математической индукции.

• Базовый случай: Для $n=1$ формула верна, как мы уже показали.
• Индукционный шаг: Предположим, что формула верна для $n=k$, то есть:$$S_k=\frac{3}{4}(1-\frac{2k+3}{3^{k+1}})$$

  Теперь нужно доказать, что формула верна для $n=k+1$, то есть, что:

  $$S_{k+1}=\frac{3}{4}(1-\frac{2(k+1)+3}{3^{(k+1)+1}})$$

  Пишем $S_{k+1}$:

  $$S_{k+1}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\cdots +\frac{k}{3^k}+\frac{k+1}{3^{k+1}}$$

  Это можно записать как:

  $$S_{k+1}=S_k+\frac{k+1}{3^{k+1}}$$

  Подставляем индукционное предположение для $S_k$:

  $$S_{k+1}=\frac{3}{4}(1-\frac{2k+3}{3^{k+1}})+\frac{k+1}{3^{k+1}}$$

  Приводим к общему знаменателю:

  $$S_{k+1}=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\cdot \frac{2k+3}{3^{k+1}}+\frac{k+1}{3^{k+1}}$$

  Объединяем дроби:

  $$S_{k+1}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\cdot (\frac{2k+3}{3^k}+\frac{2}{3^k})=S_{k-1}+\frac{2n+3}{3^{n+1}}$$