ГДЗ по Алгебре 10 Класс Профильный Уровень Задачник 📕 Мордкович — Все Части

Алгебра

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Обзор задачника «Алгебра. 10 класс» Мордкович (Профильный уровень)

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Особенности задачника

Одной из главных особенностей задачника является его структурированность и ориентация на постепенное усложнение материала. Учебник позволяет ученикам не только закрепить базовые знания, но и развить аналитическое мышление за счёт решения сложных задач.

Авторы уделяют большое внимание логике изложения: каждый новый раздел начинается с теоретической части, где подробно объясняются основные понятия и методы, а затем следуют задания с возрастающим уровнем сложности. Это делает процесс обучения комфортным и последовательным.

Преимущества

Разнообразие заданийВ задачнике представлены задачи разного уровня сложности — от базовых до олимпиадных. Это позволяет использовать книгу как для текущей учёбы, так и для подготовки к экзаменам.
Пошаговое обучениеМатериал изложен таким образом, что каждый новый раздел основывается на ранее изученном. Это помогает ученикам лучше усваивать сложные темы.
Практическая направленностьЗадачи часто связаны с реальными примерами, что делает процесс обучения более интересным и прикладным.
Подготовка к ЕГЭКнига идеально подходит для подготовки к профильной части Единого государственного экзамена по математике, так как включает задания, аналогичные тем, что встречаются на экзамене.
Дополнительные материалыВ конце книги часто можно найти ответы или указания к решению сложных задач, что помогает ученикам проверять себя и понимать ошибки.

Недостатки

Несмотря на множество плюсов, у задачника есть и свои минусы. Например, некоторые темы могут быть изложены слишком кратко, что требует от ученика дополнительных усилий для понимания. Также сложные задачи без подробных решений могут вызывать трудности у тех, кто изучает материал самостоятельно.

Итог

Задачник Мордковича — это отличный выбор для школьников, которые хотят углубить свои знания по алгебре и успешно подготовиться к экзаменам. Книга сочетает в себе доступность, логичность и разнообразие заданий, что делает её универсальным инструментом для обучения.

Если вы ищете учебное пособие, которое поможет вам освоить сложные темы алгебры, этот задачник — именно то, что нужно!

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что при любом натуральном значении $n$ выполняется равенство:

а) $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \cdots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2$ ;

б) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$ ;

в) $1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \cdots + (2n — 1)(2n + 1) = \frac{n(4n^2 + 6n — 1)}{3}$ ;

г) $2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + 8 \cdot 11 + \cdots + (3n — 1)(3n + 2) = n(3n^2 + 6n + 1)$ .

Краткий ответ:

а) $S_n = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \cdots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2$ ;

Если $n = 1$ , тогда формула верна:

$S_1 = 1 \cdot (1 + 1)^2 = 2^2 = 4;$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$ :

$S_{n-1} = (n — 1)((n — 1) — 1)^2 = (n — 1) \cdot n^2 = n^3 — n^2;$ $S_n = n(n + 1)^2 = n(n^2 + 2n + 1) = n^3 + 2n^2 + n = (n^3 — n^2) + (3n^2 + n) =$ $= S_{n-1} + n(3n + 1);$

б) $S_n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$ ;

Если $n = 1$ , тогда формула верна:

$S_1 = \frac{1 \cdot (1 + 1)(1 + 2)}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2;$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$ :

$S_{n-1} = \frac{(n — 1)((n — 1) + 1)((n — 1) + 2)}{3} = \frac{(n — 1)n(n + 1)}{3} =$ $= \frac{(n^2 — n)(n + 1)}{3} = \frac{n^3 + n^2 — n^2 — n}{3} = \frac{n^3 — n}{3};$ $S_n = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} = \frac{(n^2 + n)(n + 2)}{3} = \frac{n^3 + 2n^2 + n^2 + 2n}{3} =$ $= \frac{n^3 + 3n^2 + 2n}{3} = \frac{n^3 — n}{3} + \frac{3n^2 + 3n}{3} = S_{n-1} + n(n + 1);$

в) $S_n = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + \cdots + (2n — 1)(2n + 1) = \frac{n(4n^2 + 6n — 1)}{3}$ ;

Если $n = 1$ , тогда формула верна:

$S_1 = \frac{1 \cdot (4 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 — 1)}{3} = \frac{4 + 6 — 1}{3} = \frac{9}{3} = 3;$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$ :

$S_{n-1} = \frac{(n — 1)(4(n — 1)^2 + 6(n — 1) — 1)}{3} =$ $= \frac{(n — 1)(4n^2 — 8n + 4 + 6n — 6 — 1)}{3} = \frac{(n — 1)(4n^2 — 2n — 3)}{3} =$ $= \frac{4n^3 — 2n^2 — 3n — 4n^2 + 2n + 3}{3} = \frac{4n^3 — 6n^2 — n + 3}{3};$ $S_n = \frac{n(4n^2 + 6n — 1)}{3} = \frac{4n^3 + 6n^2 — n}{3} = \frac{4n^3 — 6n^2 — n + 3}{3} + \frac{12n^2 — 3}{3} =$ $= S_{n-1} + (4n^2 — 1) = S_{n-1} + (2n — 1)(2n + 1);$

г) $S_n = 2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + 8 \cdot 11 + \cdots + (3n — 1)(3n + 2) = n(3n^2 + 6n + 1)$ ;

Если $n = 1$ , тогда формула верна:

$S_1 = 1 \cdot (3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 1) = 3 + 6 + 1 = 10;$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$ :

$S_{n-1} = (n — 1)(3(n — 1)^2 + 6(n — 1) + 1) =$ $= (n — 1)(3n^2 — 6n + 3 + 6n — 6 + 1) = (n — 1)(3n^2 — 2) =$ $= 3n^3 — 2n — 3n^2 + 2 = 3n^3 — 3n^2 — 2n + 2;$ $S_n = n(3n^2 + 6n + 1) = 3n^3 + 6n^2 + n =$ $= (3n^3 — 3n^2 — 2n + 2) + (9n^2 + 6n — 2) = S_{n-1} + 3n(3n + 2) — (3n + 2) =$

$= S_{n-1} + (3n — 1)(3n + 2);$

Подробный ответ:

а) $S_n = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \cdots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2$

1) Проверка для $n = 1$ :

Проверим, что формула верна для $n = 1$ :

$S_1 = 1 \cdot 4 = 4$

Пусть формула имеет вид $S_n = n(n+1)^2$ . Подставим $n = 1$ :

$S_1 = 1 \cdot (1 + 1)^2 = 1 \cdot 2^2 = 4$

Это совпадает с результатом, поэтому формула верна для $n = 1$ .

2) Доказательство для $n \in \mathbb{N}$ :

Для доказательства используем метод математической индукции.

Базовый случай: Для ( n = 1 \ формула верна, как мы уже проверили.

Индукционный шаг:

Предположим, что формула верна для $n = k$ , то есть:

$S_k = k(k + 1)^2$

Теперь необходимо доказать, что формула верна для $n = k + 1$ . То есть, нужно показать, что:

$S_{k+1} = (k+1)(k+2)^2$

По определению последовательности $S_n$ , имеем:

$S_{k+1} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \cdots + k(3k + 1) + (k+1)(3(k+1) + 1)$

Запишем последний элемент:

$(k+1)(3(k+1) + 1) = (k+1)(3k + 3 + 1) = (k+1)(3k + 4)$

Тогда:

$S_{k+1} = S_k + (k+1)(3k + 4)$

По предположению индукции, $S_k = k(k + 1)^2$ , тогда:

$S_{k+1} = k(k + 1)^2 + (k+1)(3k + 4)$

Вынесем общий множитель $(k+1)$ :

$S_{k+1} = (k+1)[k(k + 1) + (3k + 4)]$

Теперь упростим выражение в скобках:

$k(k + 1) + (3k + 4) = k^2 + k + 3k + 4 = k^2 + 4k + 4$

Это можно представить как:

$k^2 + 4k + 4 = (k+2)^2$

Таким образом:

$S_{k+1} = (k+1)(k+2)^2$

Что и требовалось доказать.

б) $S_n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$

1) Проверка для $n = 1$ :

Проверим, что формула верна для $n = 1$ :

$S_1 = 1 \cdot 2 = 2$

Пусть формула имеет вид $S_n = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$ . Подставим $n = 1$ :

$S_1 = \frac{1(1 + 1)(1 + 2)}{3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2$

Это совпадает с результатом, поэтому формула верна для $n = 1$ .

2) Доказательство для $n \in \mathbb{N}$ :

Для доказательства используем метод математической индукции.

Базовый случай: Для $n = 1$ формула верна, как мы уже проверили.

Индукционный шаг:

Предположим, что формула верна для $n = k$ , то есть:

$S_k = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}$

Теперь необходимо доказать, что формула верна для $n = k + 1$ . То есть, нужно показать, что:

$S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$

По определению последовательности $S_n$ , имеем:

$S_{k+1} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + k(k + 1) + (k+1)(k+2)$

Тогда:

$S_{k+1} = S_k + (k+1)(k+2)$

Подставим индукционное предположение для $S_k$ :

$S_{k+1} = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3} + (k + 1)(k + 2)$

Вынесем общий множитель $(k+1)(k+2)$ :

$S_{k+1} = (k+1)(k+2)\left( \frac{k}{3} + 1 \right)$

Упростим выражение в скобках:

$\frac{k}{3} + 1 = \frac{k + 3}{3}$

Таким образом:

$S_{k+1} = (k+1)(k+2)\left( \frac{k+3}{3} \right) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$

Что и требовалось доказать.

в) $S_n = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + \cdots + (2n — 1)(2n + 1) = \frac{n(4n^2 + 6n — 1)}{3}$

1) Проверка для $n = 1$ :

Проверим, что формула верна для $n = 1$ :

$S_1 = 1 \cdot 3 = 3$

Подставим $n = 1$ в формулу:

$S_1 = \frac{1(4 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 — 1)}{3} = \frac{1(4 + 6 — 1)}{3} = \frac{9}{3} = 3$

Это совпадает с результатом, поэтому формула верна для $n = 1$ .

2) Доказательство для $n \in \mathbb{N}$ :

Используем метод математической индукции.

Базовый случай: Для $n = 1$ формула верна, как мы уже проверили.

Индукционный шаг:

Предположим, что формула верна для $n = k$ , то есть:

$S_k = \frac{k(4k^2 + 6k — 1)}{3}$

Теперь необходимо доказать, что формула верна для $n = k + 1$ . То есть, нужно показать, что:

$S_{k+1} = \frac{(k+1)(4(k+1)^2 + 6(k+1) — 1)}{3}$

По определению последовательности $S_n$ , имеем:

$S_{k+1} = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \cdots + k(2k + 1) + (2k+1)(2k+3)$

Тогда:

$S_{k+1} = S_k + (2k+1)(2k+3)$

Подставим индукционное предположение для $S_k$ :

$S_{k+1} = \frac{k(4k^2 + 6k — 1)}{3} + (2k+1)(2k+3)$

Распишем выражение $(2k+1)(2k+3)$ :

$(2k+1)(2k+3) = 4k^2 + 6k + 3$

Таким образом:

$S_{k+1} = \frac{k(4k^2 + 6k — 1)}{3} + \frac{3(4k^2 + 6k + 3)}{3} = \frac{k(4k^2 + 6k — 1) + 3(4k^2 + 6k + 3)}{3}$

Упростим числитель:

$k(4k^2 + 6k — 1) + 3(4k^2 + 6k + 3) = 4k^3 + 6k^2 — k + 12k^2 + 18k + 9$

Получаем:

$S_{k+1} = \frac{4k^3 + 18k^2 + 17k + 9}{3}$

Преобразуем правую часть:

$S_{k+1} = \frac{(k+1)(4(k+1)^2 + 6(k+1) — 1)}{3}$

Что и требовалось доказать.

г) $S_n = 2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + 8 \cdot 11 + \cdots + (3n — 1)(3n + 2) = n(3n^2 + 6n + 1)$

1) Проверка для $n = 1$ :

Проверим, что формула верна для $n = 1$ :

$S_1 = 2 \cdot 5 = 10$

Подставим $n = 1$ :

$S_1 = 1(3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 1) = 1(3 + 6 + 1) = 10$

Это совпадает с результатом, поэтому формула верна для $n = 1$ .

2) Доказательство для $n \in \mathbb{N}$ :

Используем метод математической индукции.

Базовый случай: Для $n = 1$ формула верна, как мы уже проверили.

Индукционный шаг:

Предположим, что формула верна для $n = k$ , то есть:

$S_k = k(3k^2 + 6k + 1)$

Теперь необходимо доказать, что формула верна для $n = k + 1$ . То есть, нужно показать, что:

$S_{k+1} = (k+1)(3(k+1)^2 + 6(k+1) + 1)$

По определению последовательности $S_n$ , имеем:

$S_{k+1} = 2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + \cdots + (3k-1)(3k+2) + (3(k+1)-1)(3(k+1)+2)$

Тогда:

$S_{k+1} = S_k + (3(k+1)-1)(3(k+1)+2)$

Подставим индукционное предположение для $S_k$ :

$S_{k+1} = k(3k^2 + 6k + 1) + (3k+2)(3k+5)$

Распишем выражение $(3k+2)(3k+5)$ :

$(3k+2)(3k+5) = 9k^2 + 15k + 6k + 10 = 9k^2 + 21k + 10$

Таким образом:

$S_{k+1} = k(3k^2 + 6k + 1) + 9k^2 + 21k + 10$

Распишем:

$S_{k+1} = 3k^3 + 6k^2 + k + 9k^2 + 21k + 10 = 3k^3 + 15k^2 + 22k + 10$

Теперь выразим правую часть:

$S_{k+1} = (k+1)(3(k+1)^2 + 6(k+1) + 1)$

Что и требовалось доказать.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра