ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном значении n выполняется равенство:

а) $S_n=1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$;

б) $S_n=1+4+7+\cdots +(3n-2)=\frac{n(3n-1)}{2}$;

в) $S_n=5+6+7+\cdots +(n+4)=\frac{n(n+9)}{2}$;

г) $S_n=1,6+3,1+4,6+\cdots +(1,5n+0,1)=\frac{n(3n+3,4)}{4}$

а) $S_n=1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$;

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$S_1=\frac{1\cdot (1+1)}{2}=\frac{1\cdot 2}{2}=1;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1}=\frac{(n-1)(n-1+1)}{2}=\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n^2-n}{2};$$$$S_n=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n}{2}=\frac{n^2-n+2n}{2}=\frac{n^2-n}{2}+\frac{2n}{2}=S_{n-1}+n;$$

б) $S_n=1+4+7+\cdots +(3n-2)=\frac{n(3n-1)}{2}$;

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$S_1=\frac{1\cdot (3\cdot 1-1)}{2}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1}=\frac{(n-1)(3(n-1)-1)}{2}=\frac{(n-1)(3n-3-1)}{2}=\frac{(n-1)(3n-4)}{2}=$$

$$=\frac{3n^2-4n-3n+4}{2}=\frac{3n^2-7n+4}{2};$$

$$S_n=\frac{n(3n-1)}{2}=\frac{3n^2-n}{2}=\frac{3n^2-7n+4}{2}+\frac{6n-4}{2}=S_{n-1}+(3n-2);$$

в) $S_n=5+6+7+\cdots +(n+4)=\frac{n(n+9)}{2}$;

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$S_1=\frac{1\cdot (1+9)}{2}=\frac{10}{2}=5;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1}=\frac{(n-1)(n-1+9)}{2}=\frac{(n-1)(n+8)}{2}=\frac{n^2+8n-n-8}{2}=\frac{n^2+7n-8}{2};$$$$S_n=\frac{n(n+9)}{2}=\frac{n^2+9n}{2}=\frac{n^2+7n-8}{2}+\frac{2n+8}{2}=S_{n-1}+(n+4);$$

г) $S_n=1,6+3,1+4,6+\cdots +(1,5n+0,1)=\frac{n(3n+3,4)}{4}$;

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$S_1=\frac{1\cdot (3\cdot 1+3,4)}{4}=\frac{3+3,4}{4}=\frac{6,4}{4}=1,6;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1}=\frac{(n-1)(3(n-1)+3,4)}{4}=\frac{(n-1)(3n-3+3,4)}{4}=\frac{(n-1)(3n+0,4)}{4}=$$

$$=\frac{3n^2+0,4n-3n-0,4}{4}=\frac{3n^2-2,6n-0,4}{4};$$

$$S_n=\frac{n(3n+3,4)}{4}=\frac{3n^2+3,4n}{4}=\frac{3n^2-2,6n-0,4}{4}+\frac{6n+0,4}{4}=S_{n-1}+(1,5n+0,1)$$

а) $S_n=1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$;

Шаг 1: База индукции (для $n=1$)

Когда $n=1$, сумма из одного числа равна $1$, и подставим это в формулу:

$$S_1=\frac{1\cdot (1+1)}{2}=\frac{1\cdot 2}{2}=1.$$

Это соответствует нашей формуле, база индукции выполнена.

Шаг 2: Шаг индукции

Предположим, что формула верна для некоторого $n=k$, то есть:

$$S_k=\frac{k(k+1)}{2}\mathrm{.}$$

Теперь нужно доказать, что формула верна для $n=k+1$.

Сумма $S_{k+1}$ будет включать сумму всех чисел от 1 до $k$ и добавление следующего числа $k+1$:

$$S_{k+1}=S_k+(k+1)\mathrm{.}$$

Подставим предположение индукции $S_k=\frac{k(k+1)}{2}$:

$$S_{k+1}=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)\mathrm{.}$$

Теперь вынесем $k+1$ за скобки:

$$S_{k+1}=(k+1)(\frac{k}{2}+1)=(k+1)\cdot \frac{k+2}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, формула верна и для $n=k+1$.

Заключение: Поскольку база индукции выполнена, а шаг индукции доказан, по принципу математической индукции формула $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$ верна для всех $n\in \mathbb{N}$.

б) $S_n=1+4+7+\cdots +(3n-2)=\frac{n(3n-1)}{2}$;

Шаг 1: База индукции (для $n=1$)

Когда $n=1$, последовательность состоит только из первого числа $1$, и подставим это в формулу:

$$S_1=\frac{1\cdot (3\cdot 1-1)}{2}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1.$$

Это соответствует нашей формуле, база индукции выполнена.

Шаг 2: Шаг индукции

Предположим, что формула верна для некоторого $n=k$, то есть:

$$S_k=\frac{k(3k-1)}{2}\mathrm{.}$$

Теперь нужно доказать, что формула верна для $n=k+1$.

Сумма $S_{k+1}$ будет включать сумму всех чисел от 1 до $3k-2$ и добавление следующего числа $3(k+1)-2=3k+1$:

$$S_{k+1}=S_k+(3k+1)\mathrm{.}$$

Подставим предположение индукции $S_k=\frac{k(3k-1)}{2}$:

$$S_{k+1}=\frac{k(3k-1)}{2}+(3k+1)\mathrm{.}$$

Теперь приведем к общему знаменателю:

$$S_{k+1}=\frac{k(3k-1)}{2}+\frac{2(3k+1)}{2}=\frac{k(3k-1)+2(3k+1)}{2}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки:

$$S_{k+1}=\frac{k(3k)-k+6k+2}{2}=\frac{3k^2-k+6k+2}{2}=\frac{3k^2+5k+2}{2}\mathrm{.}$$

Теперь заметим, что:

$$S_{k+1}=\frac{(k+1)(3k+2)}{2}\mathrm{.}$$

Это и есть требуемая форма для $n=k+1$.

Заключение: Поскольку база индукции выполнена, а шаг индукции доказан, по принципу математической индукции формула $S_n=\frac{n(3n-1)}{2}$ верна для всех $n\in \mathbb{N}$.

в) $S_n=5+6+7+\cdots +(n+4)=\frac{n(n+9)}{2}$;

Шаг 1: База индукции (для $n=1$)

Когда $n=1$, последовательность состоит только из одного числа $5$, и подставим это в формулу:

$$S_1=\frac{1\cdot (1+9)}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Это соответствует нашей формуле, база индукции выполнена.

Шаг 2: Шаг индукции

Предположим, что формула верна для некоторого $n=k$, то есть:

$$S_k=\frac{k(k+9)}{2}\mathrm{.}$$

Теперь нужно доказать, что формула верна для $n=k+1$.

Сумма $S_{k+1}$ будет включать сумму всех чисел от 5 до $k+4$, и добавление следующего числа $k+5$:

$$S_{k+1}=S_k+(k+5)\mathrm{.}$$

Подставим предположение индукции $S_k=\frac{k(k+9)}{2}$:

$$S_{k+1}=\frac{k(k+9)}{2}+(k+5)\mathrm{.}$$

Теперь приведем к общему знаменателю:

$$S_{k+1}=\frac{k(k+9)}{2}+\frac{2(k+5)}{2}=\frac{k(k+9)+2(k+5)}{2}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки:

$$S_{k+1}=\frac{k^2+9k+2k+10}{2}=\frac{k^2+11k+10}{2}\mathrm{.}$$

Теперь заметим, что:

$$S_{k+1}=\frac{(k+1)(k+10)}{2}\mathrm{.}$$

Это и есть требуемая форма для $n=k+1$.

Заключение: Поскольку база индукции выполнена, а шаг индукции доказан, по принципу математической индукции формула $S_n=\frac{n(n+9)}{2}$ верна для всех $n\in \mathbb{N}$.

г) $S_n=1,6+3,1+4,6+\cdots +(1,5n+0,1)=\frac{n(3n+3,4)}{4}$;

Шаг 1: База индукции (для $n=1$)

Когда $n=1$, последовательность состоит только из одного числа $1,6$, и подставим это в формулу:

$$S_1=\frac{1\cdot (3\cdot 1+3,4)}{4}=\frac{3+3,4}{4}=\frac{6,4}{4}=1,6.$$

Это соответствует нашей формуле, база индукции выполнена.

Шаг 2: Шаг индукции

Предположим, что формула верна для некоторого $n=k$, то есть:

$$S_k=\frac{k(3k+3,4)}{4}\mathrm{.}$$

Теперь нужно доказать, что формула верна для $n=k+1$.

Сумма $S_{k+1}$ будет включать сумму всех чисел от $1,6$ до $1,5k+0,1$, и добавление следующего числа $1,5(k+1)+0,1$:

$$S_{k+1}=S_k+(1,5(k+1)+0,1)\mathrm{.}$$

Подставим предположение индукции $S_k=\frac{k(3k+3,4)}{4}$:

$$S_{k+1}=\frac{k(3k+3,4)}{4}+(1,5(k+1)+0,1)\mathrm{.}$$

Теперь приведем все к общему знаменателю:

$$S_{k+1}=\frac{k(3k+3,4)}{4}+\frac{4(1,5(k+1)+0,1)}{4}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки:

$$S_{k+1}=\frac{k(3k+3,4)+4(1,5k+1,5+0,1)}{4}=\frac{k(3k+3,4)+6k+6,4}{4}\mathrm{.}$$

Упростим:

$$S_{k+1}=\frac{3k^2+3,4k+6k+6,4}{4}=\frac{3k^2+9,4k+6,4}{4}\mathrm{.}$$

Теперь заметим, что:

$$S_{k+1}=\frac{(k+1)(3(k+1)+3,4)}{4}\mathrm{.}$$

Это и есть требуемая форма для $n=k+1$.

Заключение: Поскольку база индукции выполнена, а шаг индукции доказан, по принципу математической индукции формула $S_n=\frac{n(3n+3,4)}{4}$ верна для всех $n\in \mathbb{N}$.