ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Докажите, что количество разных наборов по два предмета, которые можно сделать из $n$ различных предметов ($n \geq 2$), равно:

$$\frac{n(n-1)}{2}$$

б) Докажите, что количество разных наборов по три предмета, которые можно сделать из $n$ различных предметов ($n \geq 3$), равно:

$$\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$$

а) Доказать, что количество сочетаний из $n$ предметов по два равно:

$$C = \frac{n(n-1)}{2}, \text{ где } n \geq 2;$$

Из двух предметов можно составить одно сочетание, а каждый новый предмет может сочетаться с каждым из прежних предметов, то есть:

$$C_2 = 1 \quad \text{и} \quad C_n = C_{n-1} + (n-1);$$

Если $n = 2$, тогда формула верна:

$$C_2 = \frac{2 \cdot (2-1)}{2} = \frac{2 \cdot 1}{2} = 1;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$C_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1)-1)}{2} = \frac{(n-1)(n-2)}{2} = \frac{n^2 — 2n — n + 2}{2} =$$ $$= \frac{n^2 — 3n + 2}{2};$$ $$C_n = \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n^2 — n}{2} = \frac{n^2 — 3n + 2}{2} + \frac{2n — 2}{2} = C_{n-1} + (n-1);$$

б) Доказать, что количество сочетаний из $n$ предметов по три равно:

$$C = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}, \text{ где } n \geq 3;$$

Из трех предметов можно составить одно сочетание, каждый новый предмет может сочетаться с каждым из прежних предметов, а каждая такая пара с каждым из оставшихся предметов (при этом каждый из наборов будет повторяться), то есть:

$$C_3 = 1 \quad \text{и} \quad C_n = C_{n-1} + \frac{(n-1)(n-2)}{2};$$

Если $n = 3$, тогда формула верна:

$$C_3 = \frac{3(3-1)(3-2)}{6} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{6} = \frac{6}{6} = 1;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$C_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1)-1)((n-1)-2)}{6} = \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6} =$$ $$= \frac{(n^2 — 3n + 2)(n-3)}{6} = \frac{n^3 — 3n^2 — 3n^2 + 9n + 2n — 6}{6} = \frac{n^3 — 6n^2 + 11n — 6}{6};$$ $$C_n = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = \frac{(n^2 — n)(n-2)}{6} = \frac{n^3 — 2n^2 — n^2 + 2n}{6} =$$ $$= \frac{n^3 — 3n^2 + 2n}{6} = \frac{n^3 — 6n^2 + 11n — 6}{6} + \frac{3n^2 — 9n + 6}{6} =$$ $$= C_{n-1} + \frac{3(n^2 — 3n + 2)}{6} = C_{n-1} + \frac{(n-1)(n-2)}{2};$$

а) Доказать, что количество сочетаний из $n$ предметов по два равно:

$$C = \frac{n(n-1)}{2}, \text{ где } n \geq 2;$$

Шаг 1. Пояснение рекуррентного соотношения

В задаче нас просят доказать, что количество сочетаний из $n$ предметов по два, или количество возможных способов выбрать два предмета из $n$, равно $\frac{n(n-1)}{2}$.

Чтобы это доказать, давайте воспользуемся рекуррентным соотношением для количества сочетаний:

• Из двух предметов можно составить только одно сочетание. Таким образом, для $n = 2$ очевидно, что количество сочетаний равно $C_2 = 1$.
• Каждый новый предмет может сочетаться с каждым из прежних предметов. Таким образом, для $n$ предметов количество сочетаний будет равно количеству сочетаний для $n-1$ предметов плюс количество новых сочетаний, которые можно составить с новым предметом.

Это выражается в следующем рекуррентном соотношении:

$$C_n = C_{n-1} + (n-1).$$

Шаг 2. Проверка формулы для $n = 2$

Проверим, что наша формула верна для $n = 2$. Формула для количества сочетаний по два предмета выглядит так:

$$C = \frac{n(n-1)}{2}.$$

Подставим $n = 2$:

$$C_2 = \frac{2(2-1)}{2} = \frac{2 \cdot 1}{2} = 1.$$

Это совпадает с нашим ожиданием, так как для $n = 2$ существует только одно сочетание. Таким образом, формула верна для $n = 2$.

Шаг 3. Доказательство для $n$

Теперь докажем, что формула верна для всех $n \geq 2$ с использованием математической индукции.

• База индукции: Мы уже доказали, что формула верна для $n = 2$.
• Шаг индукции: Предположим, что формула верна для $n = k$, то есть:

  $$C_k = \frac{k(k-1)}{2}.$$

  Теперь нужно доказать, что формула верна для $n = k+1$. То есть нужно доказать, что:

  $$C_{k+1} = \frac{(k+1)k}{2}.$$

  Из рекуррентного соотношения мы знаем, что:

  $$C_{k+1} = C_k + k.$$

  Подставим гипотезу индукции $C_k = \frac{k(k-1)}{2}$ в это выражение:

  $$C_{k+1} = \frac{k(k-1)}{2} + k = \frac{k(k-1)}{2} + \frac{2k}{2} = \frac{k^2 — k + 2k}{2} = \frac{k(k+1)}{2}.$$

  Это именно та формула, которую мы хотели доказать. Таким образом, по принципу математической индукции формула $C_n = \frac{n(n-1)}{2}$ верна для всех $n \geq 2$.

б) Доказать, что количество сочетаний из $n$ предметов по три равно:

$$C = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}, \text{ где } n \geq 3;$$

Шаг 1. Пояснение рекуррентного соотношения

Теперь рассмотрим количество сочетаний из $n$ предметов по три. Количество сочетаний по три можно выразить через рекуррентное соотношение.

• Из трех предметов можно составить только одно сочетание. Таким образом, для $n = 3$ количество сочетаний по три равно $C_3 = 1$.
• Каждый новый предмет может сочетаться с каждым из прежних предметов, а каждая пара этих предметов может сочетаться с оставшимися предметами. Однако важно помнить, что одно и то же сочетание может быть повторено несколько раз, так как порядок не имеет значения. Таким образом, для $n$ предметов количество сочетаний будет равно количеству сочетаний для $n-1$ предметов плюс количество новых сочетаний, которые можно составить с новым предметом.

Рекуррентное соотношение для сочетаний по три:

$$C_n = C_{n-1} + \frac{(n-1)(n-2)}{2}.$$

Шаг 2. Проверка формулы для $n = 3$

Проверим, что наша формула верна для $n = 3$:

$$C_3 = \frac{3(3-1)(3-2)}{6} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{6} = \frac{6}{6} = 1.$$

Это совпадает с ожиданием, так как для $n = 3$ существует только одно сочетание из трех предметов.

Шаг 3. Доказательство для $n$

Докажем, что формула верна для всех $n \geq 3$, используя математическую индукцию.

• База индукции: Для $n = 3$ формула верна, как мы только что показали.
• Шаг индукции: Предположим, что формула верна для $n = k$, то есть:

  $$C_k = \frac{k(k-1)(k-2)}{6}.$$

  Теперь нужно доказать, что формула верна для $n = k+1$. То есть нужно доказать, что:

  $$C_{k+1} = \frac{(k+1)(k)(k-1)}{6}.$$

  Из рекуррентного соотношения мы знаем, что:

  $$C_{k+1} = C_k + \frac{(k)(k-1)}{2}.$$

  Подставим гипотезу индукции $C_k = \frac{k(k-1)(k-2)}{6}$ в это выражение:

  $$C_{k+1} = \frac{k(k-1)(k-2)}{6} + \frac{k(k-1)}{2}.$$

  Приведем к общему знаменателю:

  $$C_{k+1} = \frac{k(k-1)(k-2)}{6} + \frac{3k(k-1)}{6} = \frac{k(k-1)((k-2) + 3)}{6} = \frac{k(k-1)(k+1)}{6}.$$

  Это именно та формула, которую мы хотели доказать. Таким образом, по принципу математической индукции формула $C_n = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ верна для всех $n \geq 3$.

Итог:

Мы доказали, что для сочетаний из $n$ предметов по два и по три справедливы следующие формулы:

• $C_n = \frac{n(n-1)}{2}$ для сочетаний из $n$ предметов по два.
• $C_n = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ для сочетаний из $n$ предметов по три.