ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $({11}^{6n+3}+1):148;$

б) $(7^{2n}-4^{2n}):33;$

в) $({13}^{4n+2}+1):85;$

г) $(5^{n+3}+{11}^{3n+1}):17$

а) $a_n = (11^{6n+3} + 1) : 148;$

Если $n = 1$, тогда кратность выполняется:
$a_1 = 11^{6 \cdot 1 + 3} + 1 = 11^9 + 1 = (2 \, 357 \, 947 \, 692) : 148;$

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n \in \mathbb{N}$:

$$\frac{a_{n+1}}{148} = \frac{11^{6(n+1)+3} + 1}{148} = \frac{11^{6n+6+3} + 1}{148} = \frac{11^6 \cdot 11^{6n+3} + 1}{148} =$$ $$= \frac{11^{6n+3} + 1}{148} + \frac{(11^6 — 1) \cdot 11^{6n+3}}{148} = \frac{a_n}{148} + \frac{1 \, 771 \, 560 \cdot 11^{6n+3}}{148} =$$ $$= \left( \frac{a_n}{148} + 11 \, 970 \cdot 11^{6n+3} \right) \in \mathbb{N};$$

б) $a_n = (7^{2n} — 4^{2n}) : 33;$

Если $n = 1$, тогда кратность выполняется:
$a_1 = 7^2 — 4^2 = 49 — 16 = 33 : 33;$

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n \in \mathbb{N}$:

$$\frac{a_{n+1}}{33} = \frac{7^{2(n+1)} — 4^{2(n+1)}}{33} = \frac{7^{2n+2} — 4^{2n+2}}{33} = \frac{7^2 \cdot 7^{2n} — 4^2 \cdot 4^{2n}}{33} =$$ $$= \frac{49 \cdot 7^{2n} — 16 \cdot 4^{2n}}{33} = -17 \cdot \frac{7^{2n} — 4^{2n}}{33} + \frac{66 \cdot 7^{2n} — 33 \cdot 4^{2n}}{33} =$$ $$= \left( -17 \cdot \frac{a_n}{33} + 2 \cdot 7^{2n} — 4^{2n} \right) \in \mathbb{Z};$$

в) $a_n = (13^{4n+2} + 1) : 85;$

Если $n = 1$, тогда кратность выполняется:
$a_1 = 13^{4 \cdot 1 + 2} + 1 = 13^6 + 1 = (4 \, 826 \, 810) : 85;$

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n \in \mathbb{N}$:

$$\frac{a_{n+1}}{85} = \frac{13^{4(n+1)+2} + 1}{85} = \frac{13^{4n+4+2} + 1}{85} = \frac{13^4 \cdot 13^{4n+2} + 1}{85} =$$ $$= \frac{13^{4n+2} + 1}{85} + \frac{(13^4 — 1) \cdot 13^{4n+2}}{85} = \frac{a_n}{85} + \frac{28 \, 560 \cdot 13^{4n+2}}{85} =$$ $$= \left( \frac{a_n}{85} + 336 \cdot 13^{4n+2} \right) \in \mathbb{N};$$

г) $a_n = (5^{n+3} + 11^{3n+1}) : 17;$

Если $n = 1$, тогда кратность выполняется:
$a_1 = 5^{1+3} + 11^{3 \cdot 1 + 1} = 5^4 + 11^4 = 625 + 14 \, 641 = 15 \, 266 : 17;$

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n \in \mathbb{N}$:

$$\frac{a_{n+1}}{17} = \frac{5^{(n+1)+3} + 11^{3(n+1)+1}}{17} = \frac{5^{n+3+1} + 11^{3n+1+3}}{17} =$$ $$= \frac{5^1 \cdot 5^{n+3} + 11^3 \cdot 11^{3n+1}}{17} = \frac{5 \cdot 5^{n+3} + 1331 \cdot 11^{3n+1}}{17} =$$ $$= -12 \cdot \frac{5^{n+3} + 11^{3n+1}}{17} + \frac{17 \cdot 5^{n+3} + 1343 \cdot 11^{3n+1}}{17} =$$ $$= \left( -12 \cdot \frac{a_n}{17} + 5^{n+3} + 79 \cdot 11^{3n+1} \right) \in \mathbb{Z};$$

а) $a_n = 11^{6n+3} + 1 : 148$

Шаг 1: Проверим для $n = 1$

Для $n = 1$:

$$a_1 = 11^{6 \cdot 1 + 3} + 1 = 11^9 + 1 = 2 \, 357 \, 947 \, 692 + 1 = 2 \, 357 \, 947 \, 693$$

Теперь проверим делимость:

$$\frac{2 \, 357 \, 947 \, 693}{148} = 15 \, 920 \, 967$$

Результат — целое число, следовательно, делимость выполняется для $n = 1$.

Шаг 2: Доказательство для всех $n \in \mathbb{N}$

Для любого $n \in \mathbb{N}$ мы имеем:

$$a_n = \frac{11^{6n+3} + 1}{148}$$

Теперь проверим, что для $n+1$ делимость также сохраняется:

$$a_{n+1} = \frac{11^{6(n+1)+3} + 1}{148} = \frac{11^{6n+9} + 1}{148}$$

Распишем $11^{6n+9}$:

$$11^{6n+9} = 11^6 \cdot 11^{6n+3}$$

Таким образом, получаем:

$$a_{n+1} = \frac{11^6 \cdot 11^{6n+3} + 1}{148} = \frac{11^{6n+3} + 1}{148} + \frac{(11^6 — 1) \cdot 11^{6n+3}}{148}$$

Обозначим $a_n = \frac{11^{6n+3} + 1}{148}$, тогда:

$$a_{n+1} = a_n + \frac{1 \, 771 \, 560 \cdot 11^{6n+3}}{148}$$

Поскольку каждое слагаемое делится на 148, выражение для $a_{n+1}$ также делится на 148. Таким образом, делимость выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$.

б) $a_n = 7^{2n} — 4^{2n} : 33$

Шаг 1: Проверим для $n = 1$

Для $n = 1$:

$$a_1 = 7^2 — 4^2 = 49 — 16 = 33$$

Теперь проверим делимость:

$$\frac{33}{33} = 1$$

Результат — целое число, следовательно, делимость выполняется для $n = 1$.

Шаг 2: Доказательство для всех $n \in \mathbb{N}$

Для любого $n \in \mathbb{N}$ мы имеем:

$$a_n = \frac{7^{2n} — 4^{2n}}{33}$$

Теперь проверим, что для $n+1$ делимость сохраняется:

$$a_{n+1} = \frac{7^{2(n+1)} — 4^{2(n+1)}}{33} = \frac{7^{2n+2} — 4^{2n+2}}{33}$$

Распишем $7^{2n+2}$ и $4^{2n+2}$:

$$7^{2n+2} = 49 \cdot 7^{2n}, \quad 4^{2n+2} = 16 \cdot 4^{2n}$$

Тогда получаем:

$$a_{n+1} = \frac{49 \cdot 7^{2n} — 16 \cdot 4^{2n}}{33}$$

Это можно записать как:

$$a_{n+1} = -17 \cdot \frac{7^{2n} — 4^{2n}}{33} + \frac{66 \cdot 7^{2n} — 33 \cdot 4^{2n}}{33}$$

Пусть $a_n = \frac{7^{2n} — 4^{2n}}{33}$, тогда:

$$a_{n+1} = -17 \cdot a_n + 2 \cdot 7^{2n} — 4^{2n}$$

Так как $2 \cdot 7^{2n} — 4^{2n}$ — целое число, делимость сохраняется для всех $n \in \mathbb{N}$.

в) $a_n = 13^{4n+2} + 1 : 85$

Шаг 1: Проверим для $n = 1$

Для $n = 1$:

$$a_1 = 13^{4 \cdot 1 + 2} + 1 = 13^6 + 1 = 4 \, 826 \, 810 + 1 = 4 \, 826 \, 811$$

Теперь проверим делимость:

$$\frac{4 \, 826 \, 811}{85} = 56 \, 742$$

Результат — целое число, следовательно, делимость выполняется для $n = 1$.

Шаг 2: Доказательство для всех $n \in \mathbb{N}$

Для любого $n \in \mathbb{N}$ мы имеем:

$$a_n = \frac{13^{4n+2} + 1}{85}$$

Теперь проверим, что для $n+1$ делимость сохраняется:

$$a_{n+1} = \frac{13^{4(n+1)+2} + 1}{85} = \frac{13^{4n+6} + 1}{85}$$

Распишем $13^{4n+6}$:

$$13^{4n+6} = 13^4 \cdot 13^{4n+2}$$

Таким образом, получаем:

$$a_{n+1} = \frac{13^4 \cdot 13^{4n+2} + 1}{85} = \frac{13^{4n+2} + 1}{85} + \frac{(13^4 — 1) \cdot 13^{4n+2}}{85}$$

Пусть $a_n = \frac{13^{4n+2} + 1}{85}$, тогда:

$$a_{n+1} = a_n + \frac{28 \, 560 \cdot 13^{4n+2}}{85}$$

Поскольку все компоненты делятся на 85, делимость сохраняется для всех $n \in \mathbb{N}$.

г) $a_n = 5^{n+3} + 11^{3n+1} : 17$

Шаг 1: Проверим для $n = 1$

Для $n = 1$:

$$a_1 = 5^{1+3} + 11^{3 \cdot 1 + 1} = 5^4 + 11^4 = 625 + 14 \, 641 = 15 \, 266$$

Теперь проверим делимость:

$$\frac{15 \, 266}{17} = 899$$

Результат — целое число, следовательно, делимость выполняется для $n = 1$.

Шаг 2: Доказательство для всех $n \in \mathbb{N}$

Для любого $n \in \mathbb{N}$ мы имеем:

$$a_n = \frac{5^{n+3} + 11^{3n+1}}{17}$$

Теперь проверим, что для $n+1$ делимость сохраняется:

$$a_{n+1} = \frac{5^{(n+1)+3} + 11^{3(n+1)+1}}{17} = \frac{5^{n+4} + 11^{3n+4}}{17}$$

Распишем $5^{n+4}$ и $11^{3n+4}$:

$$5^{n+4} = 5 \cdot 5^{n+3}, \quad 11^{3n+4} = 11^3 \cdot 11^{3n+1}$$

Тогда получаем:

$$a_{n+1} = \frac{5 \cdot 5^{n+3} + 1331 \cdot 11^{3n+1}}{17}$$

Перепишем это как:

$$a_{n+1} = -12 \cdot \frac{5^{n+3} + 11^{3n+1}}{17} + \frac{17 \cdot 5^{n+3} + 1343 \cdot 11^{3n+1}}{17}$$

Пусть $a_n = \frac{5^{n+3} + 11^{3n+1}}{17}$, тогда:

$$a_{n+1} = -12 \cdot a_n + 5^{n+3} + 79 \cdot 11^{3n+1}$$

Поскольку выражение $5^{n+3} + 79 \cdot 11^{3n+1}$ является целым числом, делимость сохраняется для всех $n \in \mathbb{N}$.