ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

а) $5^n > 3n — 1$, где $n \in \mathbb{N}$;

б) $3^n > 2n^2 + 3n$, где $n \in \mathbb{N}, \, n \geq 4$;

в) $2^n > 5n + 1$, где $n \in \mathbb{N}, \, n \geq 5$;

г) $5^n > 3n^2 + 10n$, где $n \in \mathbb{N}, \, n \geq 3$

а) $5^n > 3n — 1$, где $n \in \mathbb{N}$;

Требуется доказать, что:

$$S_n = 5^n — 3n + 1 > 0;$$

Если $n = 1$, тогда неравенство выполняется:

$$S_1 = 5^1 — 3 \cdot 1 + 1 = 5 — 3 + 1 = 3 > 0;$$

Докажем, что неравенство верно при каждом следующем числе $n \in \mathbb{N}$:

$$S_{n+1} = 5^{n+1} — 3(n+1) + 1 = 5^{n+1} — 3n — 3 + 1 = 5 \cdot 5^n — 3n — 2 =$$ $$= (5^n — 3n + 1) + (4 \cdot 5^n — 3) = S_n + (4 \cdot 5^n — 3) > 0;$$ $$5^n \geq 5;$$ $$4 \cdot 5^n \geq 20;$$ $$4 \cdot 5^n — 3 \geq 17 > 0;$$

б) $3^n > 2n^2 + 3n$, где $n \in \mathbb{N}, \, n \geq 4$;

Требуется доказать, что:

$$S_n = 3^n — 2n^2 — 3n > 0;$$

Если $n = 4$, тогда неравенство выполняется:

$$S_4 = 3^4 — 2 \cdot 4^2 — 3 \cdot 4 = 81 — 32 — 12 = 37 > 0;$$

Докажем, что неравенство верно при каждом следующем числе $n \in \mathbb{N}$:

$$S_{n+1} = 3^{n+1} — 2(n+1)^2 — 3(n+1) = 3^{n+1} — 2n^2 — 4n — 2 — 3n — 3 =$$ $$= 3 \cdot 3^n — 2n^2 — 7n — 5 = (3^n — 2n^2 — 3n) + (2 \cdot 3^n — 4n — 5) =$$ $$= S_n + (2 \cdot 3^n — 4n — 5) > 0;$$

Требуется доказать, что:

$$P_n = 2 \cdot 3^n — 4n — 5 > 0;$$

Если $n = 5$, тогда неравенство выполняется:

$$P_5 = 2 \cdot 3^5 — 4 \cdot 5 — 5 = 486 — 20 — 5 = 461 > 0;$$

Докажем, что неравенство верно при каждом следующем числе $n \in \mathbb{N}$:

$$P_{n+1} = 2 \cdot 3^{n+1} — 4(n+1) — 5 = 2 \cdot 3 \cdot 3^n — 4n — 4 — 5 = 6 \cdot 3^n — 4n — 9 =$$ $$= (2 \cdot 3^n — 4n — 5) + (4 \cdot 3^n — 4) = P_n + (4 \cdot 3^n — 4) > 0;$$ $$3^n \geq 81;$$ $$4 \cdot 3^n \geq 324;$$ $$4 \cdot 3^n — 4 \geq 320 > 0;$$

в) $2^n > 5n + 1$, где $n \in \mathbb{N}, \, n \geq 5$;

Требуется доказать, что:

$$S_n = 2^n — 5n — 1 > 0;$$

Если $n = 5$, тогда неравенство выполняется:

$$S_5 = 2^5 — 5 \cdot 5 — 1 = 32 — 25 — 1 = 6;$$

Докажем, что неравенство верно при каждом следующем числе $n \in \mathbb{N}$:

$$S_{n+1} = 2^{n+1} — 5(n+1) — 1 = 2^{n+1} — 5n — 5 — 1 = 2 \cdot 2^n — 5n — 6 =$$ $$= (2^n — 5n — 1) + (2^n — 5) = S_n + (2^n — 5) > 0;$$ $$2^n \geq 32;$$ $$2^n — 5 \geq 27 > 0;$$

г) $5^n > 3n^2 + 10n$, где $n \in \mathbb{N}, \, n \geq 3$;

Требуется доказать, что:

$$S_n = 5^n — 3n^2 — 10n > 0;$$

Если $n = 3$, тогда неравенство выполняется:

$$S_3 = 5^3 — 3 \cdot 3^2 — 10 \cdot 3 = 125 — 27 — 30 = 68 > 0;$$

Докажем, что неравенство верно при каждом следующем числе $n \in \mathbb{N}$:

$$S_{n+1} = 5^{n+1} — 3(n+1)^2 — 10(n+1) = 5^{n+1} — 3n^2 — 6n — 3 — 10n — 10 =$$ $$= 5 \cdot 5^n — 3n^2 — 16n — 13 = (5^n — 3n^2 — 10n) + (4 \cdot 5^n — 6n — 13) =$$ $$= S_n + (4 \cdot 5^n — 6n — 13) > 0;$$

Требуется доказать, что:

$$P_n = 4 \cdot 5^n — 6n — 13 > 0;$$

Если $n = 4$, тогда неравенство выполняется:

$$P_4 = 4 \cdot 5^4 — 6 \cdot 5 — 13 = 2500 — 30 — 13 = 2457 > 0;$$

Докажем, что неравенство верно при каждом следующем числе $n \in \mathbb{N}$:

$$P_{n+1} = 4 \cdot 5^{n+1} — 6(n+1) — 13 = 4 \cdot 5 \cdot 5^n — 6n — 6 — 13 =$$ $$= 20 \cdot 5^n — 6n — 19 = (4 \cdot 5^n — 6n — 13) + (16 \cdot 5^n — 6) =$$ $$= P_n + (16 \cdot 5^n — 6) > 0;$$ $$5^n \geq 625;$$ $$16 \cdot 5^n \geq 10000;$$ $$16 \cdot 5^n — 6 \geq 9994 > 0;$$

а) $5^n > 3n — 1$, где $n \in \mathbb{N}$:

Необходимо доказать, что:

$$S_n = 5^n — 3n + 1 > 0$$

для всех $n \in \mathbb{N}$.

1) Базовый случай (для $n = 1$):

Подставим $n = 1$ в $S_n$:

$$S_1 = 5^1 — 3 \cdot 1 + 1 = 5 — 3 + 1 = 3 > 0.$$

Таким образом, для $n = 1$ неравенство выполняется.

2) Индукционное предположение:

Предположим, что неравенство выполняется для некоторого $n = k$, то есть:

$$S_k = 5^k — 3k + 1 > 0.$$

Нам нужно доказать, что это неравенство также верно для $n = k + 1$.

3) Индукционный шаг:

Для $n = k + 1$ рассматриваем выражение для $S_{k+1}$:

$$S_{k+1} = 5^{k+1} — 3(k+1) + 1.$$

Раскроем и упростим:

$$S_{k+1} = 5^{k+1} — 3k — 3 + 1 = 5 \cdot 5^k — 3k — 2.$$

Мы можем переписать это как:

$$S_{k+1} = (5^k — 3k + 1) + (4 \cdot 5^k — 3).$$

По индукционному предположению, $5^k — 3k + 1 > 0$, следовательно, нам нужно доказать, что выражение $4 \cdot 5^k — 3$ также больше нуля:

$$4 \cdot 5^k — 3 \geq 17 > 0,$$

так как $5^k \geq 5$, то $4 \cdot 5^k \geq 20$, и следовательно:

$$4 \cdot 5^k — 3 \geq 17 > 0.$$

Таким образом, $S_{k+1} = S_k + (4 \cdot 5^k — 3) > 0$.

4) Заключение:

Мы доказали, что если неравенство верно для $n = k$, то оно также верно для $n = k+1$. Поскольку база индукции $n = 1$ верна, то по принципу математической индукции неравенство выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$.

б) $3^n > 2n^2 + 3n$, где $n \in \mathbb{N}, \, n \geq 4$:

Необходимо доказать, что:

$$S_n = 3^n — 2n^2 — 3n > 0$$

для всех $n \geq 4$.

1) Базовый случай (для $n = 4$):

Подставим $n = 4$ в $S_n$:

$$S_4 = 3^4 — 2 \cdot 4^2 — 3 \cdot 4 = 81 — 32 — 12 = 37 > 0.$$

Таким образом, для $n = 4$ неравенство выполняется.

2) Индукционное предположение:

Предположим, что неравенство выполняется для некоторого $n = k$, то есть:

$$S_k = 3^k — 2k^2 — 3k > 0.$$

Нам нужно доказать, что это неравенство также верно для $n = k + 1$.

3) Индукционный шаг:

Для $n = k + 1$ рассматриваем выражение для $S_{k+1}$:

$$S_{k+1} = 3^{k+1} — 2(k+1)^2 — 3(k+1).$$

Раскроем и упростим:

$$S_{k+1} = 3 \cdot 3^k — 2(k^2 + 2k + 1) — 3k — 3 = 3 \cdot 3^k — 2k^2 — 4k — 2 — 3k — 3.$$

Это можно переписать как:

$$S_{k+1} = (3^k — 2k^2 — 3k) + (2 \cdot 3^k — 4k — 5).$$

По индукционному предположению, $3^k — 2k^2 — 3k > 0$, следовательно, нам нужно доказать, что выражение $2 \cdot 3^k — 4k — 5$ больше нуля:

$$P_k = 2 \cdot 3^k — 4k — 5 > 0.$$

4) Доказательство для $P_k$:

Для $n = 5$ подставим в $P_k$:

$$P_5 = 2 \cdot 3^5 — 4 \cdot 5 — 5 = 486 — 20 — 5 = 461 > 0.$$

Это верно, и теперь докажем, что неравенство выполняется для $n = k + 1$.

5) Индукционный шаг для $P_{k+1}$:

Для $n = k+1$ рассмотрим выражение:

$$P_{k+1} = 2 \cdot 3^{k+1} — 4(k+1) — 5 = 2 \cdot 3 \cdot 3^k — 4k — 4 — 5 = 6 \cdot 3^k — 4k — 9.$$

Это можно записать как:

$$P_{k+1} = P_k + (4 \cdot 3^k — 4).$$

Так как $3^k \geq 81$, то $4 \cdot 3^k — 4 \geq 320 > 0$. Таким образом:

$$P_{k+1} = P_k + (4 \cdot 3^k — 4) > 0.$$

6) Заключение:

Мы доказали, что если неравенство верно для $n = k$, то оно также верно для $n = k+1$. Поскольку база индукции $n = 4$ верна, то по принципу математической индукции неравенство выполняется для всех $n \geq 4$.

в) $2^n > 5n + 1$, где $n \in \mathbb{N}, \, n \geq 5$:

Необходимо доказать, что:

$$S_n = 2^n — 5n — 1 > 0$$

для всех $n \geq 5$.

1) Базовый случай (для $n = 5$):

Подставим $n = 5$ в $S_n$:

$$S_5 = 2^5 — 5 \cdot 5 — 1 = 32 — 25 — 1 = 6 > 0.$$

Таким образом, для $n = 5$ неравенство выполняется.

2) Индукционное предположение:

Предположим, что неравенство выполняется для некоторого $n = k$, то есть:

$$S_k = 2^k — 5k — 1 > 0.$$

Нам нужно доказать, что это неравенство также верно для $n = k + 1$.

3) Индукционный шаг:

Для $n = k + 1$ рассматриваем выражение для $S_{k+1}$:

$$S_{k+1} = 2^{k+1} — 5(k+1) — 1 = 2 \cdot 2^k — 5k — 5 — 1 = 2 \cdot 2^k — 5k — 6.$$

Это можно записать как:

$$S_{k+1} = (2^k — 5k — 1) + (2^k — 5).$$

По индукционному предположению, $2^k — 5k — 1 > 0$, следовательно, нам нужно доказать, что выражение $2^k — 5$ больше нуля:

$$2^k \geq 32 \quad \text{и} \quad 2^k — 5 \geq 27 > 0.$$

Таким образом, $S_{k+1} = S_k + (2^k — 5) > 0$.

4) Заключение:

Мы доказали, что если неравенство верно для $n = k$, то оно также верно для $n = k+1$. Поскольку база индукции $n = 5$ верна, то по принципу математической индукции неравенство выполняется для всех $n \geq 5$.

г) $5^n > 3n^2 + 10n$, где $n \in \mathbb{N}, \, n \geq 3$:

Необходимо доказать, что:

$$S_n = 5^n — 3n^2 — 10n > 0$$

для всех $n \geq 3$.

1) Базовый случай (для $n = 3$):

Подставим $n = 3$ в $S_n$:

$$S_3 = 5^3 — 3 \cdot 3^2 — 10 \cdot 3 = 125 — 27 — 30 = 68 > 0.$$

Таким образом, для $n = 3$ неравенство выполняется.

2) Индукционное предположение:

Предположим, что неравенство выполняется для некоторого $n = k$, то есть:

$$S_k = 5^k — 3k^2 — 10k > 0.$$

Нам нужно доказать, что это неравенство также верно для $n = k + 1$.

3) Индукционный шаг:

Для $n = k + 1$ рассматриваем выражение для $S_{k+1}$:

$$S_{k+1} = 5^{k+1} — 3(k+1)^2 — 10(k+1) = 5^{k+1} — 3k^2 — 6k — 3 — 10k — 10 =$$ $$= 5 \cdot 5^k — 3k^2 — 16k — 13 = (5^k — 3k^2 — 10k) + (4 \cdot 5^k — 6k — 13).$$

По индукционному предположению, $5^k — 3k^2 — 10k > 0$, следовательно, нам нужно доказать, что выражение $4 \cdot 5^k — 6k — 13$ больше нуля:

$$4 \cdot 5^k — 6k — 13 \geq 10000 — 6 = 9994 > 0.$$

Таким образом, $S_{k+1} = S_k + (4 \cdot 5^k — 6k — 13) > 0$.

4) Заключение:

Мы доказали, что если неравенство верно для $n = k$, то оно также верно для $n = k+1$. Поскольку база индукции $n = 3$ верна, то по принципу математической индукции неравенство выполняется для всех $n \geq 3$.