ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Используя тождество из № 6.9, вычислите сумму:

а) $\frac{1}{4 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 14} + \frac{1}{14 \cdot 19} + \ldots + \frac{1}{144 \cdot 149}$;

б) $\frac{1}{1,5 \cdot 2,5} + \frac{1}{2,5 \cdot 3,5} + \frac{1}{3,5 \cdot 4,5} + \ldots + \frac{1}{73,5 \cdot 74,5}$.

Вычислить сумму, используя тождество:

а) $S_n = \frac{1}{4 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 14} + \frac{1}{14 \cdot 19} + \cdots + \frac{1}{144 \cdot 149}$;

Значения коэффициентов:

$$a = 4;$$ $$a + d = 9 \quad => \quad d = 9 — a = 9 — 4 = 5;$$ $$a + dn = 149 \quad => \quad n = \frac{149 — a}{d} = \frac{149 — 4}{5} = \frac{145}{5} = 29;$$

Найдем значение суммы:

$$S_n = \frac{n}{a(a + dn)} = \frac{29}{4 \cdot 149} = \frac{29}{596};$$

Ответ: $\frac{29}{596}$.

б) $S_n = \frac{1}{1,5 \cdot 2,5} + \frac{1}{2,5 \cdot 3,5} + \frac{1}{3,5 \cdot 4,5} + \cdots + \frac{1}{73,5 \cdot 74,5}$;

Значения коэффициентов:

$$a = 1,5;$$ $$a + d = 2,5 \quad => \quad d = 2,5 — a = 2,5 — 1,5 = 1;$$ $$a + dn = 74,5 \quad => \quad n = \frac{74,5 — a}{d} = \frac{74,5 — 1,5}{1} = 73;$$

Найдем значение суммы:

$$S_n = \frac{n}{a(a + dn)} = \frac{73}{1,5 \cdot 74,5} = \frac{73}{111,75} = \frac{292}{447};$$

Ответ: $\frac{292}{447}$.

а) Сумма:

$$S_n = \frac{1}{4 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 14} + \frac{1}{14 \cdot 19} + \cdots + \frac{1}{144 \cdot 149}$$

1. Найдем значения коэффициентов:

Рассмотрим сумму и выражения в числителе и знаменателе. Мы видим, что числители — это числа $1, 2, 3, \ldots, n$, а знаменатели следуют по заданному закону, где каждый следующий знаменатель зависит от предыдущего.

1.1 Определим $a$ и $d$:

• $a = 4$ — это первый множитель в знаменателе первого члена.
• $a + d = 9$ — это второй множитель в знаменателе первого члена.

Из уравнения $a + d = 9$ находим:

$$d = 9 — a = 9 — 4 = 5$$

Итак, $a = 4$ и $d = 5$.

1.2 Определим значение $n$:

Задача требует найти $n$, для которого последний знаменатель равен 149:

$$a + dn = 149$$

Подставляем известные значения $a = 4$ и $d = 5$:

$$4 + 5n = 149$$

Решаем это уравнение:

$$5n = 149 — 4 = 145$$ $$n = \frac{145}{5} = 29$$

Таким образом, $n = 29$.

2. Используем тождество для вычисления суммы:

Теперь, когда мы нашли $a = 4$, $d = 5$ и $n = 29$, мы можем использовать тождество из задачи 6.11 для вычисления суммы.

По тождеству из задачи 6.11:

$$S_n = \frac{n}{a(a + dn)}$$

Подставляем значения:

$$S_n = \frac{29}{4 \cdot (4 + 5 \cdot 29)} = \frac{29}{4 \cdot (4 + 145)} = \frac{29}{4 \cdot 149}$$ $$S_n = \frac{29}{596}$$

Ответ для части (а):

$$S_n = \frac{29}{596}$$

б) Сумма:

$$S_n = \frac{1}{1,5 \cdot 2,5} + \frac{1}{2,5 \cdot 3,5} + \frac{1}{3,5 \cdot 4,5} + \cdots + \frac{1}{73,5 \cdot 74,5}$$

1. Найдем значения коэффициентов:

1.1 Определим $a$ и $d$:

Рассматриваем дроби. Здесь числители и знаменатели также следуют определенной закономерности.

• $a = 1,5$ — это первый множитель в знаменателе первого члена.
• $a + d = 2,5$ — это второй множитель в знаменателе первого члена.

Из уравнения $a + d = 2,5$ находим:

$$d = 2,5 — a = 2,5 — 1,5 = 1$$

Таким образом, $a = 1,5$ и $d = 1$.

1.2 Определим значение $n$:

Задача требует найти $n$, для которого последний знаменатель равен 74,5:

$$a + dn = 74,5$$

Подставляем известные значения $a = 1,5$ и $d = 1$:

$$1,5 + n = 74,5$$

Решаем это уравнение:

$$n = 74,5 — 1,5 = 73$$

Таким образом, $n = 73$.

2. Используем тождество для вычисления суммы:

Теперь, когда мы нашли $a = 1,5$, $d = 1$ и $n = 73$, мы можем использовать тождество из задачи 6.11 для вычисления суммы.

По тождеству из задачи 6.11:

$$S_n = \frac{n}{a(a + dn)}$$

Подставляем значения:

$$S_n = \frac{73}{1,5 \cdot (1,5 + 1 \cdot 73)} = \frac{73}{1,5 \cdot (1,5 + 73)} = \frac{73}{1,5 \cdot 74,5}$$ $$S_n = \frac{73}{111,75}$$

Упростим дробь:

$$S_n = \frac{292}{447}$$

Ответ для части (б):

$$S_n = \frac{292}{447}$$

Итог:

• Для части (а) получили $S_n = \frac{29}{596}$.
• Для части (б) получили $S_n = \frac{292}{447}$.