ГДЗ по Алгебре 10 Класс Профильный Уровень Задачник 📕 Мордкович — Все Части

Алгебра

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Обзор задачника «Алгебра. 10 класс» Мордкович (Профильный уровень)

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Особенности задачника

Одной из главных особенностей задачника является его структурированность и ориентация на постепенное усложнение материала. Учебник позволяет ученикам не только закрепить базовые знания, но и развить аналитическое мышление за счёт решения сложных задач.

Авторы уделяют большое внимание логике изложения: каждый новый раздел начинается с теоретической части, где подробно объясняются основные понятия и методы, а затем следуют задания с возрастающим уровнем сложности. Это делает процесс обучения комфортным и последовательным.

Преимущества

Разнообразие заданийВ задачнике представлены задачи разного уровня сложности — от базовых до олимпиадных. Это позволяет использовать книгу как для текущей учёбы, так и для подготовки к экзаменам.
Пошаговое обучениеМатериал изложен таким образом, что каждый новый раздел основывается на ранее изученном. Это помогает ученикам лучше усваивать сложные темы.
Практическая направленностьЗадачи часто связаны с реальными примерами, что делает процесс обучения более интересным и прикладным.
Подготовка к ЕГЭКнига идеально подходит для подготовки к профильной части Единого государственного экзамена по математике, так как включает задания, аналогичные тем, что встречаются на экзамене.
Дополнительные материалыВ конце книги часто можно найти ответы или указания к решению сложных задач, что помогает ученикам проверять себя и понимать ошибки.

Недостатки

Несмотря на множество плюсов, у задачника есть и свои минусы. Например, некоторые темы могут быть изложены слишком кратко, что требует от ученика дополнительных усилий для понимания. Также сложные задачи без подробных решений могут вызывать трудности у тех, кто изучает материал самостоятельно.

Итог

Задачник Мордковича — это отличный выбор для школьников, которые хотят углубить свои знания по алгебре и успешно подготовиться к экзаменам. Книга сочетает в себе доступность, логичность и разнообразие заданий, что делает её универсальным инструментом для обучения.

Если вы ищете учебное пособие, которое поможет вам освоить сложные темы алгебры, этот задачник — именно то, что нужно!

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется равенство:

а) $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + n \cdot n! = (n+1)! — 1;$

б) $\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{n}{(n+1)!} = 1 — \frac{1}{(n+1)!}$ (см. № 1.36).

Краткий ответ:

а) $S_n = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + n \cdot n! = (n+1)! — 1$ ;

Если $n = 1$ , тогда формула верна:

$S_1 = (1+1)! — 1 = 2! — 1 = 2 — 1 = 1;$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$ :

$S_{n-1} = ((n-1)+1)! — 1 = n! — 1;$ $S_n = (n+1)! — 1 = (n+1) \cdot n! — 1 = (n! — 1) + (n \cdot n!) = S_{n-1} + n \cdot n!;$

б) $S_n = \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{n}{(n+1)!} = 1 — \frac{1}{(n+1)!};$

Если $n = 1$ , тогда формула верна:

$S_1 = 1 — \frac{1}{(1+1)!} = 1 — \frac{1}{2!} = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2};$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$ :

$S_{n-1} = 1 — \frac{1}{((n-1)+1)!} = 1 — \frac{1}{n!};$ $S_n = 1 — \frac{1}{(n+1)!};$ $S_n — S_{n-1} = 1 — \frac{1}{(n+1)!} — \left( 1 — \frac{1}{n!} \right) = \frac{1}{n!} — \frac{1}{(n+1)!} = \frac{(n+1)-1}{(n+1) \cdot n!} = \frac{n}{(n+1)!}.$

Подробный ответ:

а) $S_n = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + n \cdot n! = (n+1)! — 1$

1) Проверка для $n = 1$ :

Нужно проверить, что формула верна для $n = 1$ .

Слева:

$S_1 = 1 \cdot 1! = 1 \cdot 1 = 1$

Справа:

$S_1 = (1+1)! — 1 = 2! — 1 = 2 — 1 = 1$

Таким образом, формула верна для $n = 1$ .

2) Доказательство для $n \in \mathbb{N}$ :

Для доказательства будем использовать метод математической индукции.

Базовый случай: Для $n = 1$ формула верна, как показано выше.
Индукционный шаг: Предположим, что формула верна для $n = k$ , то есть:
$S_k = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + k \cdot k! = (k+1)! — 1$
Теперь нужно доказать, что формула верна для $n = k+1$ . То есть, нужно показать, что:
$S_{k+1} = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + k \cdot k! + (k+1) \cdot (k+1)! = (k+2)! — 1$
Пишем $S_{k+1}$ как сумму:
$S_{k+1} = S_k + (k+1) \cdot (k+1)!$
Подставляем индукционное предположение для $S_k$ :
$S_{k+1} = ((k+1)! — 1) + (k+1) \cdot (k+1)!$
Вынесем общий множитель $(k+1)!$ :
$S_{k+1} = (k+1)! \left( 1 + (k+1) \right) — 1 = (k+1)! \cdot (k+2) — 1$
Мы видим, что:
$S_{k+1} = (k+2)! — 1$
Таким образом, формула верна для $n = k+1$ , и индукция завершена.

б) $S_n = \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{n}{(n+1)!} = 1 — \frac{1}{(n+1)!}$

1) Проверка для $n = 1$ :

Слева:

$S_1 = \frac{1}{2!} = \frac{1}{2}$

Справа:

$S_1 = 1 — \frac{1}{(1+1)!} = 1 — \frac{1}{2!} = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Таким образом, формула верна для $n = 1$ .

2) Доказательство для $n \in \mathbb{N}$ :

Для доказательства используем метод математической индукции.

Базовый случай: Для $n = 1$ формула верна, как показано выше.
Индукционный шаг: Предположим, что формула верна для $n = k$ , то есть:
$S_k = \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{k}{(k+1)!} = 1 — \frac{1}{(k+1)!}$
Теперь нужно доказать, что формула верна для $n = k+1$ . То есть, нужно показать, что:
$S_{k+1} = \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{k}{(k+1)!} + \frac{k+1}{(k+2)!} = 1 — \frac{1}{(k+2)!}$
Пишем $S_{k+1}$ как сумму:
$S_{k+1} = S_k + \frac{k+1}{(k+2)!}$
Подставляем индукционное предположение для $S_k$ :
$S_{k+1} = \left( 1 — \frac{1}{(k+1)!} \right) + \frac{k+1}{(k+2)!}$
Приводим к общему знаменателю:
$S_{k+1} = 1 — \frac{1}{(k+1)!} + \frac{k+1}{(k+2)!} = 1 — \frac{(k+2)}{(k+2)!} = 1 — \frac{1}{(k+2)!}$
Таким образом, формула верна для $n = k+1$ , и индукция завершена.

Итог:

Мы доказали обе части задачи с использованием метода математической индукции:

Для первой части (а) мы доказали, что $S_n = (n+1)! — 1$ .
Для второй части (б) мы доказали, что $S_n = 1 — \frac{1}{(n+1)!}$ .

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра