ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Методом математической индукции докажите:

а) формулу общего члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + d(n — 1)$;

б) формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{(2a_1 + d(n — 1))n}{2}$;

в) формулу общего члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$;

г) формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(1 — q^n)}{1 — q}$ при $q \neq 1$.

а) Доказать формулу общего члена арифметической прогрессии:

Если $n = 1$, тогда формула верна:

$$a_1 = a_1 + d(1 — 1) = a_1 + d \cdot 0 = a_1;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$a_n = a_1 + d(n — 1) = a_1 + dn — d;$$ $$a_{n+1} = a_1 + d((n + 1) — 1) = a_1 + dn = a_1 + dn — d + d = a_n + d;$$

Каждый следующий член последовательности на $d$ больше, чем предыдущий, что и требовалось доказать.

б) Доказать формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

Если $n = 1$, тогда формула верна:

$$S_1 = \frac{(2a_1 + d(1 — 1)) \cdot 1}{2} = \frac{2a_1 + d \cdot 0}{2} = \frac{2a_1}{2} = a_1;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$S_n = \frac{(2a_1 + d(n — 1))n}{2} = \frac{(2a_1 + dn — d)n}{2} = \frac{2a_1n + dn^2 — dn}{2};$$ $$S_{n+1} = \frac{(2a_1 + d((n + 1) — 1))(n + 1)}{2} = \frac{(2a_1 + dn)(n + 1)}{2} =$$ $$= \frac{2a_1n + dn^2 + 2a_1 + dn}{2} = \frac{2a_1n + dn^2 — dn}{2} + \frac{2a_1 + 2dn}{2} =$$ $$= S_n + (a_1 + dn) = S_n + (a_1 + d(n — 1) + d) = S_n + (a_n + d);$$

Каждая следующая сумма первых членов арифметической прогрессии больше предыдущей на величину следующего члена последовательности, что и требовалось доказать.

в) Доказать формулу общего члена геометрической прогрессии:

Если $n = 1$, тогда формула верна:

$$b_1 = b_1 \cdot q^{1-1} = b_1 \cdot q^0 = b_1 \cdot 1 = b_1;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1};$$ $$b_{n+1} = b_1 \cdot q^{(n+1)-1} = b_1 \cdot q^{(n-1)+1} = b_1 \cdot q^{n-1} \cdot q^1 = b_n \cdot q;$$

Каждый член последовательности в $q$ раз больше предыдущего, что и требовалось доказать.

г) Доказать формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

Если $n = 1$, тогда формула верна:

$$S_1 = \frac{b_1 \cdot (1 — q^1)}{1 — q} = \frac{(1 — q)b_1}{1 — q} = b_1;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$S_n = \frac{b_1(1 — q^n)}{1 — q} = \frac{b_1 — b_1q^n}{1 — q};$$ $$S_{n+1} = \frac{b_1(1 — q^{n+1})}{1 — q} = \frac{b_1 — b_1q^{n+1}}{1 — q} = \frac{b_1 — b_1q^n — b_1q^{n+1} + b_1q^n}{1 — q} =$$ $$= \frac{b_1 — b_1q^n — b_1q^n \cdot (q — 1)}{1 — q} = \frac{b_1 — b_1q^n + b_1q^n(1 — q)}{1 — q} = S_n + b_1q^n = S_n + b_n \cdot q;$$

Каждая следующая сумма членов геометрической прогрессии больше предыдущей на величину следующего члена последовательности, что и требовалось доказать.

а) Доказать формулу общего члена арифметической прогрессии:

Формула общего члена арифметической прогрессии имеет вид:

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

где:

• $a_n$ — $n$-й член прогрессии,
• $a_1$ — первый член прогрессии,
• $d$ — разность прогрессии,
• $n$ — номер члена прогрессии.

Шаг 1: Показать, что формула верна для $n = 1$:

Для $n = 1$:

$$a_1 = a_1 + d(1 — 1) = a_1 + d \cdot 0 = a_1$$

Как видно, при $n = 1$ формула верна, так как она просто повторяет $a_1$.

Шаг 2: Докажем, что формула верна для любого $n \in \mathbb{N}$:

Исходная формула:

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

Теперь покажем, что если она верна для некоторого $n$, то она будет верна и для $n + 1$.

Для $n + 1$-го члена:

$$a_{n+1} = a_1 + d((n + 1) — 1) = a_1 + d(n)$$

Из этого можно записать:

$$a_{n+1} = a_1 + dn$$

Теперь представим $a_{n+1}$ как $a_n + d$. Для этого, используя формулу для $a_n$, получаем:

$$a_{n+1} = a_1 + d(n) = (a_1 + d(n — 1)) + d = a_n + d$$

Таким образом, мы доказали, что каждый следующий член арифметической прогрессии на $d$ больше предыдущего, что и требовалось доказать.

б) Доказать формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{n(2a_1 + d(n — 1))}{2}$$

где:

• $S_n$ — сумма первых $n$ членов прогрессии,
• $a_1$ — первый член прогрессии,
• $d$ — разность прогрессии,
• $n$ — количество членов.

Шаг 1: Показать, что формула верна для $n = 1$:

Для $n = 1$:

$$S_1 = \frac{1(2a_1 + d(1 — 1))}{2} = \frac{1(2a_1)}{2} = a_1$$

Как видно, при $n = 1$ формула верна, так как сумма из одного члена равна $a_1$.

Шаг 2: Докажем, что формула верна для любого $n \in \mathbb{N}$:

Исходная формула для суммы:

$$S_n = \frac{n(2a_1 + d(n — 1))}{2}$$

Теперь покажем, что если эта формула верна для $n$, то она будет верна и для $n + 1$.

Для $n + 1$-го числа:

$$S_{n+1} = \frac{(n + 1)(2a_1 + d(n + 1 — 1))}{2} = \frac{(n + 1)(2a_1 + dn)}{2}$$

Теперь раскроем скобки:

$$S_{n+1} = \frac{(n + 1)(2a_1 + dn)}{2} = \frac{(n + 1) \cdot 2a_1 + (n + 1) \cdot dn}{2}$$

Раскроем каждую часть:

$$S_{n+1} = \frac{2a_1(n + 1) + dn(n + 1)}{2}$$

Теперь разделим это на две части:

$$S_{n+1} = \frac{2a_1n + 2a_1 + dn^2 + dn}{2}$$

Это можно записать как:

$$S_{n+1} = \frac{2a_1n + dn^2 — dn}{2} + \frac{2a_1 + 2dn}{2}$$

Или:

$$S_{n+1} = S_n + (a_1 + dn) = S_n + (a_n + d)$$

Таким образом, мы доказали, что каждая следующая сумма первых членов арифметической прогрессии больше предыдущей на величину следующего члена последовательности.

в) Доказать формулу общего члена геометрической прогрессии:

Формула общего члена геометрической прогрессии:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n — 1}$$

где:

• $b_n$ — $n$-й член прогрессии,
• $b_1$ — первый член прогрессии,
• $q$ — знаменатель прогрессии (или коэффициент),
• $n$ — номер члена прогрессии.

Шаг 1: Показать, что формула верна для $n = 1$:

Для $n = 1$:

$$b_1 = b_1 \cdot q^{1 — 1} = b_1 \cdot q^0 = b_1 \cdot 1 = b_1$$

Таким образом, для $n = 1$ формула верна, так как $b_1$ просто равен $b_1$.

Шаг 2: Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

Исходная формула:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n — 1}$$

Теперь покажем, что если формула верна для $n$, то она будет верна и для $n + 1$.

Для $n + 1$-го члена:

$$b_{n+1} = b_1 \cdot q^{(n + 1) — 1} = b_1 \cdot q^{n}$$

Это можно записать как:

$$b_{n+1} = b_n \cdot q$$

Таким образом, каждый член геометрической прогрессии в $q$ раз больше предыдущего, что и требовалось доказать.

г) Доказать формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$$S_n = \frac{b_1(1 — q^n)}{1 — q}$$

где:

• $S_n$ — сумма первых $n$ членов прогрессии,
• $b_1$ — первый член прогрессии,
• $q$ — знаменатель прогрессии (или коэффициент),
• $n$ — количество членов прогрессии.

Шаг 1: Показать, что формула верна для $n = 1$:

Для $n = 1$:

$$S_1 = \frac{b_1(1 — q^1)}{1 — q} = \frac{(1 — q)b_1}{1 — q} = b_1$$

Как видно, при $n = 1$ формула верна, так как сумма из одного члена равна $b_1$.

Шаг 2: Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

Исходная формула для суммы:

$$S_n = \frac{b_1(1 — q^n)}{1 — q}$$

Теперь покажем, что если эта формула верна для $n$, то она будет верна и для $n + 1$.

Для $n + 1$-го числа:

$$S_{n+1} = \frac{b_1(1 — q^{n+1})}{1 — q} = \frac{b_1(1 — q^n — q^{n+1})}{1 — q}$$

Это можно записать как:

$$S_{n+1} = \frac{b_1(1 — q^n) — b_1q^{n+1}}{1 — q}$$

Теперь разделим это на две части:

$$S_{n+1} = \frac{b_1(1 — q^n)}{1 — q} + \frac{-b_1q^{n+1}}{1 — q} = S_n + b_1q^n$$

Это можно записать как:

$$S_{n+1} = S_n + b_n \cdot q$$

Таким образом, мы доказали, что каждая следующая сумма геометрической прогрессии больше предыдущей на величину следующего члена последовательности.