ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 59 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Расстояние между городами равно 44 км. Из этих городов навстречу друг другу выходят одновременно два пешехода и встречаются через 4 ч. Если бы первый вышел на 44 мин раньше второго, то их встреча произошла бы в середине пути. С какой скоростью идёт каждый пешеход?

Пусть скорости пешеходов равны $x$ и $y$ километров в час;

Пешеходы выходят в одно время и встречаются через 4 часа:

$$\frac{44}{x + y} = 4;$$ $$44 = 4(x + y);$$ $$11 = x + y;$$ $$y = 11 — x;$$

Если первый пешеход выйдет на 44 минуты $\left(\frac{11}{15}\right)$ часа раньше второго, то они встретятся в середине пути (через 22 километра):

$$\frac{22}{x} = \frac{22}{y} + \frac{11}{15};$$ $$\frac{22}{x} = \frac{22}{11 — x} + \frac{11}{15}; \quad | \cdot 15x(11 — x);$$ $$22 \cdot 15(11 — x) = 22 \cdot 15x + 11x(11 — x);$$ $$3630 — 330x = 330x + 121x — 11x^2;$$ $$11x^2 — 781x + 3630 = 0;$$ $$D = 781^2 — 4 \cdot 11 \cdot 3630 = 609961 — 159720 = 450241, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{781 — 671}{2 \cdot 11} = \frac{110}{22} = 5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{781 + 671}{2 \cdot 11} = \frac{1452}{22} = 66;$$ $$y_1 = 11 — 5 = 6 \quad \text{и} \quad y_2 = 11 — 66 = -55;$$

Скорость движения не может быть отрицательной, значит:

$$x = 5 \, (\text{км/ч}) \quad \text{и} \quad y = 6 \, (\text{км/ч});$$

Ответ: $5 \, \text{км/ч}; \, 6 \, \text{км/ч}.$

Условие задачи:

• Расстояние между городами — 44 км.
• Два пешехода выходят одновременно навстречу друг другу и встречаются через 4 часа.
• Если бы первый пешеход вышел на 44 минуты раньше второго, то их встреча произошла бы в середине пути (то есть через 22 км от каждого города).

Нужно найти скорость каждого пешехода.

Решение задачи:

Пусть:

• $x$ — скорость первого пешехода (км/ч),
• $y$ — скорость второго пешехода (км/ч).

1. Ситуация 1: пешеходы выходят одновременно

Когда оба пешехода выходят одновременно и встречаются через 4 часа, то общее время, которое они идут навстречу друг другу, равно 4 часа. Расстояние между ними — 44 км.

Так как оба пешехода идут навстречу друг другу, суммарное пройденное ими расстояние будет равно 44 км. Время, которое они идут, — 4 часа, и они идут со скоростями $x$ и $y$ км/ч. Таким образом, у нас есть следующее уравнение для времени и расстояния:

$$x \cdot 4 + y \cdot 4 = 44$$

Упростим его:

$$4(x + y) = 44$$ $$x + y = 11$$

Таким образом, мы получили первое уравнение:

$$x + y = 11$$

2. Ситуация 2: первый пешеход выходит на 44 минуты раньше

Во втором случае первый пешеход выходит на 44 минуты раньше второго. Это составляет $\frac{44}{60} = \frac{11}{15}$ часа. Встреча происходит в середине пути, то есть каждый пешеход должен пройти по 22 км. Для первого пешехода это будет $\frac{22}{x}$ часов, а для второго — $\frac{22}{y}$ часов. Также первое время движения первого пешехода увеличивается на $\frac{11}{15}$ часа, так как он начал движение раньше.

Мы можем записать уравнение для времени их движения:

$$\frac{22}{x} = \frac{22}{y} + \frac{11}{15}$$

Подставим $y = 11 — x$ из уравнения (1) в это выражение:

$$\frac{22}{x} = \frac{22}{11 — x} + \frac{11}{15}$$

Умножим обе части уравнения на $15x(11 — x)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$22 \cdot 15(11 — x) = 22 \cdot 15x + 11x(11 — x)$$

Раскроем скобки и упростим:

$$330x(11 — x) = 330x + 11x(11 — x)$$ $$330x(11 — x) = 330x + 11x^2 — 121x$$ $$3630x — 330x^2 = 330x + 11x^2 — 121x$$

Теперь все переносим в одну сторону:

$$3630x — 330x^2 — 330x — 11x^2 + 121x = 0$$

Упростим выражение:

$$3630x — 330x — 11x^2 — 330x^2 + 121x = 0$$ $$3630x — 330x + 121x = 0$$ $$11x^2 — 781x + 3630 = 0$$

Теперь решим квадратное уравнение.

3. Решение квадратного уравнения

Решаем квадратное уравнение:

$$11x^2 — 781x + 3630 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-781)^2 — 4 \cdot 11 \cdot 3630 = 609961 — 159720 = 450241$$

Корни уравнения:

$$x = \frac{-(-781) \pm \sqrt{450241}}{2 \cdot 11}$$ $$x = \frac{781 \pm 671}{22}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x_1 = \frac{781 — 671}{22} = \frac{110}{22} = 5$$ $$x_2 = \frac{781 + 671}{22} = \frac{1452}{22} = 66$$

4. Выбор физически корректного решения

Так как скорости пешеходов не могут быть отрицательными, мы исключаем корень $x_2 = 66$, так как в данном контексте второй пешеход не может двигаться быстрее первого, если они встречаются через 4 часа.

Таким образом, скорость первого пешехода:

$$x = 5 \, \text{км/ч}$$

Теперь найдём скорость второго пешехода:

$$y = 11 — x = 11 — 5 = 6 \, \text{км/ч}$$

Ответ:

Скорость первого пешехода: $5 \, \text{км/ч}$.

Скорость второго пешехода: $6 \, \text{км/ч}$.