ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 57 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Велосипедист проехал 30 км от города до турбазы. На обратном пути он ехал 2 ч с той же скоростью, а затем на 3 км/ч быстрее и затратил на обратный путь на 6 мин меньше, чем на путь из города до турбазы. Какое время затратил велосипедист на обратный путь?

Пусть $x$ (км/ч) — начальная скорость велосипедиста, тогда:

• $x+3$ (км/ч) — его скорость в конце обратного пути;
• $\frac{30}{x}$ (ч) — время, затраченное на путь до турбазы;
• $2x$ (км) — путь, пройденный за два часа;
• $2+\frac{30-2x}{x+3}$ (ч) — время, затраченное на путь до города;

На обратный путь велосипедист затратил на 6 минут $\left(\frac{1}{10}\text{ часа}\right)$ меньше времени, чем на путь до турбазы, следовательно:

$$\frac{30}{x}=2+\frac{30-2x}{x+3}+\frac{1}{10}$$

Умножим обе части уравнения на $10x(x+3)$:

$$30\cdot 10(x+3)=2\cdot 10x(x+3)+10x(30-2x)+x(x+3)$$

Раскроем скобки:

$$300x+900=20x^2+60x+300x-20x^2+x^2+3x$$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$$300x+900=x^2+63x$$

Перенесём все слагаемые в одну сторону:

$$x^2+63x-900=0$$

Решим квадратное уравнение методом дискриминанта:

$$D=b^2-4ac={63}^2-4\cdot 1\cdot (-900)=3969+3600=7569$$

Тогда корни уравнения:

$$x_1=\frac{-63-\sqrt{7569}}{2}=\frac{-63-87}{2}=-75\text{и}{x}_2=\frac{-63+\sqrt{7569}}{2}=\frac{-63+87}{2}=12$$

Скорость движения не может быть отрицательной, значит:

$$x=12(\text{км/ч})$$

Подставим $x=12$ в выражение для времени пути до города:

$$2+\frac{30-2\cdot 12}{12+3}=2+\frac{30-24}{15}=2+\frac{6}{15}=2+\frac{24}{60}(\text{ч})$$

Ответ: $2$ часа $24$ минуты.

Условие:

• Велосипедист проехал 30 км из города до турбазы.
• Обратный путь:
  • первые 2 часа ехал с той же скоростью;
  • затем ехал на 3 км/ч быстрее;
  • на обратный путь потратил на 6 минут (то есть 1/10 часа) меньше, чем на путь до турбазы.

Решение:

Шаг 1. Обозначим скорость велосипедиста:

Пусть:

$x$ (км/ч) — скорость велосипедиста на пути из города до турбазы}

Шаг 2. Время на путь туда (город → турбаза):

Он проехал 30 км со скоростью $x$, значит:

$$t_{\text{туда}}=\frac{30}{x}\text{(в часах)}$$

Шаг 3. Что происходит на обратном пути:

• Первые 2 часа ехал со скоростью $x$, значит за это время проехал:$$s_1=x\cdot 2=2x\text{ км}$$
• Осталось проехать:$$30-2x\text{ км}$$
• Этот оставшийся путь он проехал со скоростью $x+3$ км/ч, затратив:$$t_2=\frac{30-2x}{x+3}$$

Шаг 4. Общее время на обратный путь:

$$t_{\text{обратно}}=2+\frac{30-2x}{x+3}$$

Шаг 5. По условию:

$$t_{\text{обратно}}=t_{\text{туда}}-\frac{1}{10}$$

Подставим:

$$2+\frac{30-2x}{x+3}=\frac{30}{x}-\frac{1}{10}$$

Шаг 6. Приведем уравнение к стандартному виду:

Перепишем:

$$\frac{30}{x}=2+\frac{30-2x}{x+3}+\frac{1}{10}$$

Шаг 7. Устраним дроби.

Общий знаменатель: $10x(x+3)$.
Умножим обе части:

$$10x(x+3)\cdot \frac{30}{x}=10x(x+3)\cdot (2+\frac{30-2x}{x+3}+\frac{1}{10})$$

Распишем каждое слагаемое:

Левая часть:

$$10(x+3)\cdot 30=300x+900$$

Правая часть:

• $2\cdot 10x(x+3)=20x(x+3)$
• $10x\cdot \frac{30-2x}{x+3}=10x(30-2x)$
• $x(x+3)$ — умножение на $10x(x+3)\cdot \frac{1}{10}=x(x+3)$

Теперь:

$$300x+900=20x^2+60x+300x-20x^2+x^2+3x$$

Соберём всё:

Правая часть:

$$(20x^2-20x^2+x^2)+(60x+300x+3x)=x^2+363x$$

Итак:

$$300x+900=x^2+363x$$

Шаг 8. Приведем уравнение к стандартному виду:

Перенесём всё в правую часть:

$$0=x^2+363x-300x-900=x^2+63x-900$$$$x^2+63x-900=0$$

Шаг 9. Решим квадратное уравнение:

$$x^2+63x-900=0$$

Найдем дискриминант:

$$D={63}^2+4\cdot 900=3969+3600=7569$$$$\sqrt{7569}=87$$

Корни:

$$x_1=\frac{-63+87}{2}=\frac{24}{2}=12$$$$x_2=\frac{-63-87}{2}=\frac{-150}{2}=-75(\text{не подходит — не может быть отрицательной})$$

Шаг 10. Найдём время на обратный путь:

Напомним формулу:

$$t_{\text{обратно}}=2+\frac{30-2x}{x+3}$$

Подставим $x=12$:

$$t_{\text{обратно}}=2+\frac{30-24}{12+3}=2+\frac{6}{15}=2+\frac{2}{5}$$$$\frac{2}{5}\text{ часа}=24\text{ минуты}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 2\text{ часа }24\text{ минуты}}}$$