ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Используя определение модуля, запишите выражение без знака модуля:

а) $\mathrm{\mid }x-5\mathrm{\mid }$

б) $\mathrm{\mid }x-5\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x+8\mathrm{\mid }$

в) $\mathrm{\mid }x-5\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }4x-5\mathrm{\mid }$

г) $\mathrm{\mid }x-5\mathrm{\mid }\cdot (x+3)$

а) $|x — 5| = \begin{cases} x — 5, & \text{если } x \geq 5; \\ 5 — x, & \text{если } x < 5; \end{cases}$

Число под знаком модуля:

$$x — 5 \geq 0;$$ $$x \geq 5;$$

Если $x \geq 5$, тогда:

$$|x — 5| = x — 5;$$

Если $x < 5$, тогда:

$$|x — 5| = -(x — 5) = 5 — x;$$

б) $|x — 5| + |x + 8| = \begin{cases} 2x + 3, & \text{если } x \geq 5; \\ 13, & \text{если } -8 \leq x < 5; \\ -2x — 3, & \text{если } x < -8 \end{cases}$

Число под первым знаком модуля:

$$x — 5 \geq 0;$$ $$x \geq 5;$$

Число под вторым знаком модуля:

$$x + 8 \geq 0;$$ $$x \geq -8;$$

Если $x \geq 5$, тогда:

$$|x — 5| + |x + 8| = x — 5 + x + 8 = 2x + 3;$$

Если $-8 \leq x < 5$, тогда:

$$|x — 5| + |x + 8| = -(x — 5) + (x + 8) = 13;$$

Если $x < -8$, тогда:

$$|x — 5| + |x + 8| = -(x — 5) — (x + 8) = -2x — 3;$$

в) $|x — 5| — |4x — 5| = \begin{cases} -3x, & \text{если } x \geq 5; \\ 10 — 5x, & \text{если } 1,25 \leq x < 5; \\ 3x, & \text{если } x < 1,25 \end{cases}$

Число под первым знаком модуля:

$$x — 5 \geq 0;$$ $$x \geq 5;$$

Число под вторым знаком модуля:

$$4x — 5 \geq 0;$$ $$4x \geq 5;$$ $$x \geq 1,25;$$

Если $x \geq 5$, тогда:

$$|x — 5| — |4x — 5| = x — 5 — (4x — 5) = -3x;$$

Если $1,25 \leq x < 5$, тогда:

$$|x — 5| — |4x — 5| = -(x — 5) — (4x — 5) = 10 — 5x;$$

Если $x < 1,25$, тогда:

$$|x — 5| — |4x — 5| = (x — 5) + (4x — 5) = 3x;$$

г) $|x — 5| \cdot (x + 3) = \begin{cases} x^2 — 2x — 15, & \text{если } x \geq 5; \\ 15 — x^2 + 2x, & \text{если } x < 5 \end{cases}$

Число под знаком модуля:

$$x — 5 \geq 0;$$ $$x \geq 5;$$

Если $x \geq 5$, тогда:

$$|x — 5| \cdot (x + 3) = (x — 5)(x + 3) = x^2 — 2x — 15;$$

Если $x < 5$, тогда:

$$|x — 5| \cdot (x + 3) = -(x — 5)(x + 3) = 15 — x^2 + 2x;$$

а) $|x — 5|$

Определение:

Абсолютное значение выражения $|x — 5|$ зависит от того, больше ли $x$ или меньше 5. Абсолютное значение всегда записывается через два возможных случая в зависимости от этого условия.

1. Случай 1: $x \geq 5$

Если $x$ больше или равно 5, то $x — 5 \geq 0$, и модуль числа $x — 5$ равен самому числу, то есть:

$$|x — 5| = x — 5$$

2. Случай 2: $x < 5$

Если $x$ меньше 5, то $x — 5$ будет отрицательным, и чтобы получить его абсолютное значение, нужно умножить его на -1:

$$|x — 5| = -(x — 5) = 5 — x$$

Ответ:

$$|x — 5| = \begin{cases} x — 5, & \text{если } x \geq 5; \\ 5 — x, & \text{если } x < 5; \end{cases}$$

б) $|x — 5| + |x + 8|$

Здесь мы имеем сумму двух выражений под модулем. Необходимо учесть, как меняются модули для каждого выражения при различных значениях $x$.

Число под первым знаком модуля: $x — 5$

1. $x — 5 \geq 0$, если $x \geq 5$;
2. $x — 5 < 0$, если $x < 5$.

Число под вторым знаком модуля: $x + 8$

1. $x + 8 \geq 0$, если $x \geq -8$;
2. $x + 8 < 0$, если $x < -8$.

Теперь рассмотрим три случая для различных значений $x$.

1. Случай 1: $x \geq 5$

В этом случае оба выражения под модулем положительные, то есть:

$$|x — 5| = x — 5, \quad |x + 8| = x + 8$$

Сумма этих выражений:

$$|x — 5| + |x + 8| = (x — 5) + (x + 8) = 2x + 3$$

2. Случай 2: $-8 \leq x < 5$

Здесь $x — 5$ будет отрицательным, а $x + 8$ — положительным. Таким образом:

$$|x — 5| = -(x — 5) = 5 — x, \quad |x + 8| = x + 8$$

Сумма этих выражений:

$$|x — 5| + |x + 8| = (5 — x) + (x + 8) = 13$$

3. Случай 3: $x < -8$

В этом случае оба выражения под модулем отрицательны, то есть:

$$|x — 5| = -(x — 5) = 5 — x, \quad |x + 8| = -(x + 8) = -x — 8$$

Сумма этих выражений:

$$|x — 5| + |x + 8| = (5 — x) + (-x — 8) = -2x — 3$$

Ответ:

$$|x — 5| + |x + 8| = \begin{cases} 2x + 3, & \text{если } x \geq 5; \\ 13, & \text{если } -8 \leq x < 5; \\ -2x — 3, & \text{если } x < -8; \end{cases}$$

в) $|x — 5| — |4x — 5|$

Здесь нужно учитывать модуль для двух выражений $x — 5$ и $4x — 5$.

Число под первым знаком модуля: $x — 5$

1. $x — 5 \geq 0$, если $x \geq 5$;
2. $x — 5 < 0$, если $x < 5$.

Число под вторым знаком модуля: $4x — 5$

1. $4x — 5 \geq 0$, если $x \geq 1,25$;
2. $4x — 5 < 0$, если $x < 1,25$.

Рассмотрим три случая.

1. Случай 1: $x \geq 5$

В этом случае оба выражения под модулем положительные:

$$|x — 5| = x — 5, \quad |4x — 5| = 4x — 5$$

Таким образом:

$$|x — 5| — |4x — 5| = (x — 5) — (4x — 5) = -3x$$

2. Случай 2: $1,25 \leq x < 5$

Здесь $x — 5$ отрицательно, а $4x — 5$ положительно:

$$|x — 5| = -(x — 5) = 5 — x, \quad |4x — 5| = 4x — 5$$

Сумма:

$$|x — 5| — |4x — 5| = (5 — x) — (4x — 5) = 10 — 5x$$

3. Случай 3: $x < 1,25$

В этом случае оба выражения под модулем отрицательны:

$$|x — 5| = -(x — 5) = 5 — x, \quad |4x — 5| = -(4x — 5) = -4x + 5$$

Сумма:

$$|x — 5| — |4x — 5| = (5 — x) — (-4x + 5) = 3x$$

Ответ:

$$|x — 5| — |4x — 5| = \begin{cases} -3x, & \text{если } x \geq 5; \\ 10 — 5x, & \text{если } 1,25 \leq x < 5; \\ 3x, & \text{если } x < 1,25; \end{cases}$$

г) $|x — 5| \cdot (x + 3)$

Здесь рассматриваем произведение двух выражений. Мы учитываем модуль для $x — 5$.

Число под знаком модуля: $x — 5$

1. $x — 5 \geq 0$, если $x \geq 5$;
2. $x — 5 < 0$, если $x < 5$.

Рассмотрим два случая для произведения $|x — 5| \cdot (x + 3)$.

1. Случай 1: $x \geq 5$

Здесь $x — 5 \geq 0$, и выражение под модулем не изменяется:

$$|x — 5| \cdot (x + 3) = (x — 5)(x + 3) = x^2 — 2x — 15$$

2. Случай 2: $x < 5$

Здесь $x — 5 < 0$, и выражение под модулем меняется на $-(x — 5)$:

$$|x — 5| \cdot (x + 3) = -(x — 5)(x + 3) = 15 — x^2 + 2x$$

Ответ:

$$|x — 5| \cdot (x + 3) = \begin{cases} x^2 — 2x — 15, & \text{если } x \geq 5; \\ 15 — x^2 + 2x, & \text{если } x < 5; \end{cases}$$