ГДЗ по Алгебре 10 Класс Профильный Уровень Задачник 📕 Мордкович — Все Части

Алгебра

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Обзор задачника «Алгебра. 10 класс» Мордкович (Профильный уровень)

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Особенности задачника

Одной из главных особенностей задачника является его структурированность и ориентация на постепенное усложнение материала. Учебник позволяет ученикам не только закрепить базовые знания, но и развить аналитическое мышление за счёт решения сложных задач.

Авторы уделяют большое внимание логике изложения: каждый новый раздел начинается с теоретической части, где подробно объясняются основные понятия и методы, а затем следуют задания с возрастающим уровнем сложности. Это делает процесс обучения комфортным и последовательным.

Преимущества

Разнообразие заданийВ задачнике представлены задачи разного уровня сложности — от базовых до олимпиадных. Это позволяет использовать книгу как для текущей учёбы, так и для подготовки к экзаменам.
Пошаговое обучениеМатериал изложен таким образом, что каждый новый раздел основывается на ранее изученном. Это помогает ученикам лучше усваивать сложные темы.
Практическая направленностьЗадачи часто связаны с реальными примерами, что делает процесс обучения более интересным и прикладным.
Подготовка к ЕГЭКнига идеально подходит для подготовки к профильной части Единого государственного экзамена по математике, так как включает задания, аналогичные тем, что встречаются на экзамене.
Дополнительные материалыВ конце книги часто можно найти ответы или указания к решению сложных задач, что помогает ученикам проверять себя и понимать ошибки.

Недостатки

Несмотря на множество плюсов, у задачника есть и свои минусы. Например, некоторые темы могут быть изложены слишком кратко, что требует от ученика дополнительных усилий для понимания. Также сложные задачи без подробных решений могут вызывать трудности у тех, кто изучает материал самостоятельно.

Итог

Задачник Мордковича — это отличный выбор для школьников, которые хотят углубить свои знания по алгебре и успешно подготовиться к экзаменам. Книга сочетает в себе доступность, логичность и разнообразие заданий, что делает её универсальным инструментом для обучения.

Если вы ищете учебное пособие, которое поможет вам освоить сложные темы алгебры, этот задачник — именно то, что нужно!

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Решите неравенство:

а) |х + 4| < 2x;

б) |x² — 4x| < 3х;

в) |х -14| < 8 + 2x;

г) |x² + 7x| < 4x + 10.

Краткий ответ:

а) $∣ x + 4 ∣ < 2 x$

$\sqrt{(x + 4)^{2}} < 2 x;$ $(x + 4)^{2} < (2 x)^{2};$ $x^{2} + 8 x + 16 < 4 x^{2};$ $3 x^{2} - 8 x - 16 > 0;$ $D = 8^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 16 = 64 + 192 = 256;$ $x_{1} = \frac{8 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{- 8}{6} и x_{2} = \frac{8 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4;$ $(x + \frac{8}{6}) (x - 4) > 0;$ $x < - \frac{8}{6} и x > 4;$

Неравенство имеет решения при:

$2 x \geq 0;$ $x \geq 0;$

Ответ: $x > 4$ .

б) $∣ x^{2} - 4 x ∣ < 3 x$

$\sqrt{(x (x - 4))^{2}} < 3 x;$ $(x (x - 4))^{2} < (3 x)^{2};$ $x^{2} (x - 4)^{2} < 9 x^{2};$

Если $x \neq 0$ , тогда:

$(x - 4)^{2} < 9;$ $x^{2} - 8 x + 16 < 9;$ $x^{2} - 8 x + 7 < 0;$ $D = 8^{2} - 4 \cdot 7 = 64 - 28 = 36;$ $x_{1} = \frac{8 - 6}{2} = 1 и x_{2} = \frac{8 + 6}{2} = 7;$ $(x - 1) (x - 7) < 0;$ $1 < x < 7;$

Если $x = 0$ , тогда:

$∣ 0^{2} - 4 \cdot 0 ∣ - 3 \cdot 0 = ∣ 0 - 0 ∣ - 0 = 0;$

Неравенство имеет решения при:

$3 x \geq 0;$ $x \geq 0;$

Ответ: $1 < x < 7$ .

в) $∣ x - 14 ∣ \leq 8 + 2 x$

$\sqrt{(x - 14)^{2}} \leq 8 + 2 x;$ $(x - 14)^{2} \leq (8 + 2 x)^{2};$ $x^{2} - 28 x + 196 \leq 64 + 32 x + 4 x^{2};$ $3 x^{2} + 60 x - 132 \geq 0;$ $x^{2} + 20 x - 44 \geq 0;$ $D = 20^{2} + 4 \cdot 44 = 400 + 176 = 576;$ $x_{1} = \frac{- 20 - 24}{2} = - 22 и x_{2} = \frac{- 20 + 24}{2} = 2;$ $(x + 22) (x - 2) \geq 0;$ $x \leq - 22 и x \geq 2;$

Неравенство имеет решения при:

$8 + 2 x \geq 0;$ $2 x \geq - 8;$ $x \geq - 4;$

Ответ: $x \geq 2$ .

г) $∣ x^{2} + 7 x ∣ \leq 4 x + 10$

Выражение под знаком модуля:

$x^{2} + 7 x \geq 0;$ $(x + 7) x \geq 0;$ $x \leq - 7 и x \geq 0;$

Если $x \leq - 7$ или $x \geq 0$ , тогда:

$x^{2} + 7 x \leq 4 x + 10;$ $x^{2} + 3 x - 10 \leq 0;$ $D = 3^{2} + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49;$ $x_{1} = \frac{- 3 - 7}{2} = - 5 и x_{2} = \frac{- 3 + 7}{2} = 2;$ $(x + 5) (x - 2) \leq 0;$ $- 5 \leq x \leq 2;$

Если $- 7 < x < 0$ , тогда:

$- (x^{2} + 7 x) \leq 4 x + 10;$ $x^{2} + 11 x + 10 \geq 0;$ $D = 11^{2} - 4 \cdot 10 = 121 - 40 = 81;$ $x_{1} = \frac{- 11 - 9}{2} = - 10 и x_{2} = \frac{- 11 + 9}{2} = - 1;$ $(x + 10) (x + 1) \geq 0;$ $x \leq - 10 и x \geq - 1;$

Неравенство имеет решения при:

$4 x + 10 \geq 0;$ $4 x \geq - 10;$ $x \geq - 2.5;$

Ответ: $- 1 \leq x \leq 2$ .

Подробный ответ:

а) $∣ x + 4 ∣ < 2 x$

Шаг 1: Разбор модульного неравенства.

Модульное неравенство $∣ x + 4 ∣ < 2 x$ означает, что выражение $x + 4$ должно быть меньше $2 x$ по модулю. Модуль в данном случае рассматривается как два возможных случая:

$x + 4 = 2 x$ — это когда выражение внутри модуля не меняет знак.
$- (x + 4) = 2 x$ — это когда выражение внутри модуля меняет знак.

Шаг 2: Преобразование и решение для первого случая.

Первый случай: $x + 4 = 2 x$ ,

$x + 4 = 2 x ⟹ 4 = x ⟹ x = 4.$

Это решение соответствует случаю, когда $x + 4 = 2 x$ .

Шаг 3: Преобразование и решение для второго случая.

Второй случай: $- (x + 4) = 2 x$ ,

$- (x + 4) = 2 x ⟹ - x - 4 = 2 x ⟹ - 4 = 3 x ⟹ x = - \frac{4}{3} .$

Это решение соответствует случаю, когда $x + 4 = - 2 x$ .

Шаг 4: Преобразование исходного неравенства и его решение.

Теперь у нас есть два возможных значения $x = 4$ и $x = - \frac{4}{3}$ . Однако исходное неравенство требует, чтобы $2 x > 0$ , что означает, что $x > 0$ . Следовательно, решение $x = - \frac{4}{3}$ не подходит, потому что оно нарушает условие $2 x \geq 0$ .

Шаг 5: Заключение.

Единственное решение, которое удовлетворяет всем условиям, это:

$x > 4.$

Ответ: $x > 4$ .

б) $∣ x^{2} - 4 x ∣ < 3 x$

Шаг 1: Разбор модульного неравенства.

Неравенство $∣ x^{2} - 4 x ∣ < 3 x$ также имеет два случая:

$x^{2} - 4 x = 3 x$
$- (x^{2} - 4 x) = 3 x$

Шаг 2: Решение первого случая.

Для случая $x^{2} - 4 x = 3 x$ :

$x^{2} - 4 x = 3 x ⟹ x^{2} - 7 x = 0 ⟹ x (x - 7) = 0.$

Отсюда $x = 0$ или $x = 7$ .

Шаг 3: Решение второго случая.

Для случая $- (x^{2} - 4 x) = 3 x$ :

$- x^{2} + 4 x = 3 x ⟹ - x^{2} + x = 0 ⟹ x (x - 1) = 0.$

Отсюда $x = 0$ или $x = 1$ .

Шаг 4: Применение условий.

Так как мы рассматриваем модульное неравенство $∣ x^{2} - 4 x ∣ < 3 x$ , необходимо, чтобы $3 x \geq 0$ , то есть $x \geq 0$ . Проверим полученные решения:

$x = 0$ подходит, так как $3 (0) = 0$ .
$x = 7$ подходит, так как $3 (7) = 21 \geq 0$ .
$x = 1$ подходит, так как $3 (1) = 3 \geq 0$ .

Таким образом, решение $0 \leq x \leq 7$ удовлетворяет условиям.

Шаг 5: Заключение.

Решения для этого неравенства:

$1 < x < 7.$

Ответ: $1 < x < 7$ .

в) $∣ x - 14 ∣ \leq 8 + 2 x$

Шаг 1: Разбор модульного неравенства.

Неравенство $∣ x - 14 ∣ \leq 8 + 2 x$ имеет два случая:

$x - 14 = 8 + 2 x$
$- (x - 14) = 8 + 2 x$

Шаг 2: Решение первого случая.

Для случая $x - 14 = 8 + 2 x$ :

$x - 14 = 8 + 2 x ⟹ - x = 22 ⟹ x = - 22.$

Шаг 3: Решение второго случая.

Для случая $- (x - 14) = 8 + 2 x$ :

$- x + 14 = 8 + 2 x ⟹ - x - 2 x = - 6 ⟹ - 3 x = - 6 ⟹ x = 2.$

Шаг 4: Применение условий.

Для этого неравенства также необходимо, чтобы $8 + 2 x \geq 0$ , что означает $x \geq - 4$ .

$x = - 22$ не удовлетворяет этому условию, так как $- 22 < - 4$ .
$x = 2$ удовлетворяет этому условию, так как $2 \geq - 4$ .

Шаг 5: Заключение.

Решение для этого неравенства:

$x \geq 2.$

Ответ: $x \geq 2$ .

г) $∣ x^{2} + 7 x ∣ \leq 4 x + 10$

Шаг 1: Разбор выражений под модулем.

Неравенство $∣ x^{2} + 7 x ∣ \leq 4 x + 10$ имеет два случая:

$x^{2} + 7 x \geq 0$
$x^{2} + 7 x < 0$

Шаг 2: Решение первого случая.

Для случая $x^{2} + 7 x \geq 0$ :

$x^{2} + 7 x \leq 4 x + 10 ⟹ x^{2} + 3 x - 10 \leq 0.$

Находим дискриминант:

$D = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10) = 9 + 40 = 49.$

Решения:

$x_{1} = \frac{- 3 - 7}{2} = - 5 и x_{2} = \frac{- 3 + 7}{2} = 2.$

Таким образом, решения: $- 5 \leq x \leq 2$ .

Шаг 3: Решение второго случая.

Для случая $x^{2} + 7 x < 0$ :

$- (x^{2} + 7 x) \leq 4 x + 10 ⟹ x^{2} + 11 x + 10 \geq 0.$

Находим дискриминант:

$D = 11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81.$

Решения:

$x_{1} = \frac{- 11 - 9}{2} = - 10 и x_{2} = \frac{- 11 + 9}{2} = - 1.$

Таким образом, решения: $x \leq - 10$ или $x \geq - 1$ .

Шаг 4: Заключение.

Для полного решения неравенства, учитывая все условия, получаем:

$- 1 \leq x \leq 2.$

Ответ: $- 1 \leq x \leq 2$ .

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра