ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите модуль числа:

а) $\mathrm{\mid }1-\sqrt{2}\mathrm{\mid }$

б) $\mathrm{\mid }\sqrt{3}-\sqrt{2}\mathrm{\mid }$

в) $\mathrm{\mid }2,2-\sqrt{5}\mathrm{\mid }$

г) $\mathrm{\mid }\sqrt{6}-2,5\mathrm{\mid }$

а) $|1 — \sqrt{2}| = -(1 — \sqrt{2}) = \sqrt{2} — 1;$
$1 < 2;$
$1 < \sqrt{2};$
$1 — \sqrt{2} < 0;$

б) $|\sqrt{3} — \sqrt{2}| = \sqrt{3} — \sqrt{2};$
$3 > 2;$
$\sqrt{3} > \sqrt{2};$
$\sqrt{3} — \sqrt{2} > 0;$

в) $|2,2 — \sqrt{5}| = -(2,2 — \sqrt{5}) = \sqrt{5} — 2,2;$
$484 < 500;$
$22 < \sqrt{500};$
$2,2 < \sqrt{5};$
$2,2 — \sqrt{5} < 0;$

г) $|\sqrt{6} — 2,5| = -(\sqrt{6} — 2,5) = 2,5 — \sqrt{6};$
$600 \leqslant 625;$
$\sqrt{600} < 25;$
$\sqrt{6} < 2,5;$
$\sqrt{6} — 2,5 < 0;$

Найдите значения выражений с использованием абсолютных величин и докажите их через неравенства.

а) $|1 — \sqrt{2}|$

Для начала определим, что означает выражение $|1 — \sqrt{2}|$. Абсолютная величина выражения означает расстояние числа $1 — \sqrt{2}$ от нуля на числовой прямой. Чтобы определить, чему равна эта величина, нужно понять, положительно ли число $1 — \sqrt{2}$, или оно отрицательное.

Сначала сравним $1$ и $\sqrt{2}$:

$$1 < 2$$ $$1 < \sqrt{2}$$

Это значит, что $1 — \sqrt{2}$ будет отрицательным числом, так как $\sqrt{2}$ больше 1.

Для того чтобы найти абсолютную величину, если число отрицательно, нужно умножить его на -1:

$$|1 — \sqrt{2}| = -(1 — \sqrt{2}) = \sqrt{2} — 1$$

Таким образом, $|1 — \sqrt{2}| = \sqrt{2} — 1$, что подтверждается тем, что $1 — \sqrt{2} < 0$.

б) $|\sqrt{3} — \sqrt{2}|$

В этом случае мы снова имеем выражение с абсолютной величиной. Для начала давайте оценим, какое из чисел больше — $\sqrt{3}$ или $\sqrt{2}$.

Сравним $3$ и $2$:

$$3 > 2$$

Так как корень из большего числа всегда больше, получаем:

$$\sqrt{3} > \sqrt{2}$$

Поскольку $\sqrt{3} > \sqrt{2}$, то $\sqrt{3} — \sqrt{2}$ будет положительным числом. Следовательно, абсолютная величина от этого выражения равна самому выражению:

$$|\sqrt{3} — \sqrt{2}| = \sqrt{3} — \sqrt{2}$$

Таким образом, $|\sqrt{3} — \sqrt{2}| = \sqrt{3} — \sqrt{2}$, так как $\sqrt{3} — \sqrt{2} > 0$.

в) $|2,2 — \sqrt{5}|$

Здесь также необходимо найти абсолютную величину числа $2,2 — \sqrt{5}$. Чтобы понять, чему равна эта величина, нужно сравнить числа $2,2$ и $\sqrt{5}$.

Оценим $\sqrt{5}$:

$$\sqrt{5} \approx 2,236$$

Сравнив $2,2$ и $\sqrt{5}$, видно, что:

$$2,2 < \sqrt{5}$$

Таким образом, $2,2 — \sqrt{5}$ будет отрицательным числом, так как $\sqrt{5}$ больше $2,2$.

Для нахождения абсолютной величины мы умножаем на -1:

$$|2,2 — \sqrt{5}| = -(2,2 — \sqrt{5}) = \sqrt{5} — 2,2$$

Таким образом, $|2,2 — \sqrt{5}| = \sqrt{5} — 2,2$, так как $2,2 — \sqrt{5} < 0$.

г) $|\sqrt{6} — 2,5|$

Для выражения $|\sqrt{6} — 2,5|$, нам нужно понять, какое из чисел больше — $\sqrt{6}$ или $2,5$.

Оценим $\sqrt{6}$:

$$\sqrt{6} \approx 2,449$$

Сравнив $2,5$ и $\sqrt{6}$, получаем:

$$\sqrt{6} < 2,5$$

Таким образом, $\sqrt{6} — 2,5$ будет отрицательным числом, так как $\sqrt{6}$ меньше $2,5$.

Для нахождения абсолютной величины мы снова умножаем на -1:

$$|\sqrt{6} — 2,5| = -(\sqrt{6} — 2,5) = 2,5 — \sqrt{6}$$

Таким образом, $|\sqrt{6} — 2,5| = 2,5 — \sqrt{6}$, так как $\sqrt{6} — 2,5 < 0$.

Итоговое решение:

1. а) $|1 — \sqrt{2}| = \sqrt{2} — 1$, так как $1 — \sqrt{2} < 0$.
2. б) $|\sqrt{3} — \sqrt{2}| = \sqrt{3} — \sqrt{2}$, так как $\sqrt{3} — \sqrt{2} > 0$.
3. в) $|2,2 — \sqrt{5}| = \sqrt{5} — 2,2$, так как $2,2 — \sqrt{5} < 0$.
4. г) $|\sqrt{6} — 2,5| = 2,5 — \sqrt{6}$, так как $\sqrt{6} — 2,5 < 0$.