ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 48 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) x^2-81 < =0;

б) -x^2 > 4x;

в) 121 < =x^2;

г) x^2-2x < 0.

а) $x^2 — 81 \leq 0$;
$x^2 — 9^2 \leq 0$;
$(x + 9)(x — 9) \leq 0$;
$-9 \leq x \leq 9$;
Ответ: $x \in [-9; 9]$.

б) $-x^2 > 4x$;
$x^2 + 4x < 0$;
$(x + 4)x < 0$;
$-4 < x < 0$;
Ответ: $x \in (-4; 0)$.

в) $121 \leq x^2$;
$x^2 — 121 \geq 0$;
$x^2 — 11^2 \geq 0$;
$(x + 11)(x — 11) \geq 0$;
$x \leq -11$ и $x \geq 11$;
Ответ: $x \in (-\infty; -11] \cup [11; +\infty)$.

г) $x^2 — 2x \leq 0$;
$x(x — 2) \leq 0$;
$0 \leq x \leq 2$;
Ответ: $x \in [0; 2]$.

а) Решить неравенство:

$$x^2 — 81 \leq 0$$

Шаг 1: Преобразуем выражение

Представим 81 как квадрат числа:

$$x^2 — 9^2 \leq 0$$

Шаг 2: Используем формулу разности квадратов

$$x^2 — 9^2 = (x — 9)(x + 9)$$

Подставим в неравенство:

$$(x + 9)(x — 9) \leq 0$$

Шаг 3: Найдём нули выражения

Нули произведения:
$x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9$,
$x — 9 = 0 \Rightarrow x = 9$

Шаг 4: Разбиваем числовую прямую

Имеем три промежутка:

• $x < -9$
• $-9 \leq x \leq 9$
• $x > 9$

Шаг 5: Анализ знаков на промежутках

Подставим значения:

• $x = -10$:
  $(-10 + 9)(-10 — 9) = (-1)(-19) = 19 > 0$
• $x = 0$:
  $(0 + 9)(0 — 9) = 9 \cdot (-9) = -81 < 0$
• $x = 10$:
  $(10 + 9)(10 — 9) = 19 \cdot 1 = 19 > 0$

Шаг 6: Нам нужно $\leq 0$

Значение должно быть меньше либо равно нулю, т.е. включаем промежуток, где знак минус и нули.

$$\boxed{x \in [-9; 9]}$$

б) Решить неравенство:

$$-x^2 > 4x$$

Шаг 1: Приведём к стандартному виду

Перенесём все в одну сторону:

$$-x^2 — 4x > 0$$

Домножим обе части на -1 и поменяем знак неравенства:

$$x^2 + 4x < 0$$

Шаг 2: Вынесем общий множитель

$$x(x + 4) < 0$$

Шаг 3: Найдём нули

• $x = 0$
• $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$

Шаг 4: Разметим числовую прямую

Промежутки:

• $x < -4$
• $-4 < x < 0$
• $x > 0$

Шаг 5: Знаки на промежутках

• $x = -5$: $(-5)(-1) = 5 > 0$
• $x = -2$: $(-2)(2) = -4 < 0$
• $x = 1$: $(1)(5) = 5 > 0$

Шаг 6: Нам нужно $< 0$

Ответ: только промежуток между корнями, без включения самих корней.

$$\boxed{x \in (-4; 0)}$$

в) Решить неравенство:

$$121 \leq x^2$$

Шаг 1: Переносим всё в одну сторону

$$x^2 — 121 \geq 0$$

Шаг 2: Представим как разность квадратов

$$x^2 — 11^2 = (x — 11)(x + 11)$$ $$(x + 11)(x — 11) \geq 0$$

Шаг 3: Найдём нули

• $x = -11$
• $x = 11$

Шаг 4: Разметим числовую прямую

Промежутки:

• $x < -11$
• $-11 < x < 11$
• $x > 11$

Шаг 5: Анализ знаков

• $x = -12$: $(-12 + 11)(-12 — 11) = (-1)(-23) = 23 > 0$
• $x = 0$: $(0 + 11)(0 — 11) = (11)(-11) = -121 < 0$
• $x = 12$: $(12 + 11)(12 — 11) = (23)(1) = 23 > 0$

Шаг 6: Ищем где $\geq 0$

Выражение положительно вне интервала между корнями и равно нулю в самих точках:

• $x \leq -11$
• $x \geq 11$

$$\boxed{x \in (-\infty; -11] \cup [11; +\infty)}$$

г) Решить неравенство:

$$x^2 — 2x \leq 0$$

Шаг 1: Вынесем общий множитель

$$x(x — 2) \leq 0$$

Шаг 2: Найдём корни

• $x = 0$
• $x = 2$

Шаг 3: Разметим числовую прямую

Промежутки:

• $x < 0$
• $0 < x < 2$
• $x > 2$

Шаг 4: Анализ знаков

• $x = -1$: $(-1)(-3) = 3 > 0$
• $x = 1$: $(1)(-1) = -1 < 0$
• $x = 3$: $(3)(1) = 3 > 0$

Шаг 5: Учитываем знак $\leq 0$

Выражение отрицательно или ноль на отрезке от 0 до 2 (включительно):

• $x \in [0; 2]$

$$\boxed{x \in [0; 2]}$$