ГДЗ по Алгебре 10 Класс Профильный Уровень Задачник 📕 Мордкович — Все Части

Алгебра

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Обзор задачника «Алгебра. 10 класс» Мордкович (Профильный уровень)

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Особенности задачника

Одной из главных особенностей задачника является его структурированность и ориентация на постепенное усложнение материала. Учебник позволяет ученикам не только закрепить базовые знания, но и развить аналитическое мышление за счёт решения сложных задач.

Авторы уделяют большое внимание логике изложения: каждый новый раздел начинается с теоретической части, где подробно объясняются основные понятия и методы, а затем следуют задания с возрастающим уровнем сложности. Это делает процесс обучения комфортным и последовательным.

Преимущества

Разнообразие заданийВ задачнике представлены задачи разного уровня сложности — от базовых до олимпиадных. Это позволяет использовать книгу как для текущей учёбы, так и для подготовки к экзаменам.
Пошаговое обучениеМатериал изложен таким образом, что каждый новый раздел основывается на ранее изученном. Это помогает ученикам лучше усваивать сложные темы.
Практическая направленностьЗадачи часто связаны с реальными примерами, что делает процесс обучения более интересным и прикладным.
Подготовка к ЕГЭКнига идеально подходит для подготовки к профильной части Единого государственного экзамена по математике, так как включает задания, аналогичные тем, что встречаются на экзамене.
Дополнительные материалыВ конце книги часто можно найти ответы или указания к решению сложных задач, что помогает ученикам проверять себя и понимать ошибки.

Недостатки

Несмотря на множество плюсов, у задачника есть и свои минусы. Например, некоторые темы могут быть изложены слишком кратко, что требует от ученика дополнительных усилий для понимания. Также сложные задачи без подробных решений могут вызывать трудности у тех, кто изучает материал самостоятельно.

Итог

Задачник Мордковича — это отличный выбор для школьников, которые хотят углубить свои знания по алгебре и успешно подготовиться к экзаменам. Книга сочетает в себе доступность, логичность и разнообразие заданий, что делает её универсальным инструментом для обучения.

Если вы ищете учебное пособие, которое поможет вам освоить сложные темы алгебры, этот задачник — именно то, что нужно!

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 45 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Решите уравнение:

а) $x^{2} - 5 (\sqrt{x})^{2} - 6 = 0$ ;

б) $x^{2} + \sqrt{(x + 1)^{2}} - 3 = 0$ ;

в) $x^{2} + (\sqrt{x - 3})^{2} - 9 = 0$ ;

г) $x^{2} + \sqrt{(x - 3)^{2}} - 9 = 0$

Краткий ответ:

а) $x^{2} - 5 (\sqrt{x})^{2} - 6 = 0$ ;

$x^{2} - 5 x - 6 = 0$ ;

$D = 5^{2} + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49$ , тогда:

$x_{1} = \frac{5 - 7}{2} = - 1$ и $x_{2} = \frac{5 + 7}{2} = 6$ ;

Выражение имеет смысл при:

$x \geq 0$ ;

Ответ: $x = 6$ .

б) $x^{2} + \sqrt{(x + 1)^{2}} - 3 = 0$ ;

Число под знаком корня:

$x + 1 \geq 0$ ;

$x \geq - 1$ ;

Если $x \geq - 1$ , тогда:

$x^{2} + (x + 1) - 3 = 0$ ;

$x^{2} + x - 2 = 0$ ;

$D = 1^{2} + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$ , тогда:

$x_{1} = \frac{- 1 - 3}{2} = - 2$ и $x_{2} = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$ ;

Если $x < - 1$ , тогда:

$x^{2} - (x + 1) - 3 = 0$ ;

$x^{2} - x - 4 = 0$ ;

$D = 1^{2} + 4 \cdot 4 = 1 + 16 = 17$ , тогда:

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$ ;

Ответ: $x_{1} = 1$ ; $x_{2} = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$ .

в) $x^{2} + (\sqrt{x - 3})^{2} - 9 = 0$ ;

$x^{2} + (x - 3) - 9 = 0$ ;

$x^{2} + x - 12 = 0$ ;

$D = 1^{2} + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49$ , тогда:

$x_{1} = \frac{- 1 - 7}{2} = - 4$ и $x_{2} = \frac{- 1 + 7}{2} = 3$ ;

Выражение имеет смысл при:

$x - 3 \geq 0$ ;

$x \geq 3$ ;

Ответ: $x = 3$ .

г) $x^{2} + \sqrt{(x - 3)^{2}} - 9 = 0$ ;

Число под знаком корня:

$x - 3 \geq 0$ ;

$x \geq 3$ ;

Если $x \geq 3$ , тогда:

$x^{2} + (x - 3) - 9 = 0$ ;

$x^{2} + x - 12 = 0$ ;

$D = 1^{2} + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49$ , тогда:

$x_{1} = \frac{- 1 - 7}{2} = - 4$ и $x_{2} = \frac{- 1 + 7}{2} = 3$ ;

Если $x < 3$ , тогда:

$x^{2} - (x - 3) - 9 = 0$ ;

$x^{2} - x - 6 = 0$ ;

$D = 1^{2} + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$ , тогда:

$x_{1} = \frac{1 - 5}{2} = - 2$ и $x_{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$ ;

Ответ: $x_{1} = 3$ ; $x_{2} = - 2$ .

Подробный ответ:

а) Решить: $x^{2} - 5 (\sqrt{x})^{2} - 6 = 0$

Шаг 1. Упростим выражение.

Заметим:

$(\sqrt{x})^{2} = x (так как x \geq 0, иначе корень не определён)$

Тогда уравнение превращается в:

$x^{2} - 5 x - 6 = 0$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение:

Находим дискриминант:

$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 25 + 24 = 49$

Корни:

$x_{1} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5 - 7}{2} = - 1$ $x_{2} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5 + 7}{2} = 6$

Шаг 3. Проверим область допустимых значений (ОДЗ):

В исходном уравнении присутствует $\sqrt{x}$ , значит:

$x \geq 0$

Из двух найденных корней:

$x_{1} = - 1$ — не удовлетворяет ОДЗ.
$x_{2} = 6$ — удовлетворяет.

Ответ:

$x = 6$

б) Решить: $x^{2} + \sqrt{(x + 1)^{2}} - 3 = 0$

Шаг 1. Раскроем модуль под корнем:

$\sqrt{(x + 1)^{2}} = ∣ x + 1 ∣$

Теперь уравнение становится:

$x^{2} + ∣ x + 1 ∣ - 3 = 0$

Шаг 2. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x + 1 \geq 0$ (то есть $x \geq - 1$ )

Тогда $∣ x + 1 ∣ = x + 1$ , уравнение:

$x^{2} + x + 1 - 3 = 0 \Rightarrow x^{2} + x - 2 = 0$

Находим дискриминант:

$D = 1^{2} + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$

Корни:

$x_{1} = \frac{- 1 - 3}{2} = - 2 (не удовлетворяет x \geq - 1)$ $x_{2} = \frac{- 1 + 3}{2} = 1 (удовлетворяет)$

Случай 2: $x + 1 < 0 \Rightarrow x < - 1$

Тогда $∣ x + 1 ∣ = - (x + 1) = - x - 1$ , уравнение:

$x^{2} - x - 1 - 3 = 0 \Rightarrow x^{2} - x - 4 = 0$

Находим дискриминант:

$D = (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 + 16 = 17$

Корни:

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Из них подходит только:

$\frac{1 - \sqrt{17}}{2} < - 1$ — удовлетворяет.

Ответ:

$x = 1; x = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

в) Решить: $x^{2} + (\sqrt{x - 3})^{2} - 9 = 0$

Шаг 1. Упростим:

$(\sqrt{x - 3})^{2} = x - 3 при x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$

Тогда уравнение:

$x^{2} + x - 3 - 9 = 0 \Rightarrow x^{2} + x - 12 = 0$

Шаг 2. Решим уравнение:

$D = 1^{2} + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49$ $x_{1} = \frac{- 1 - 7}{2} = - 4 (не удовлетворяет x \geq 3)$ $x_{2} = \frac{- 1 + 7}{2} = 3 (удовлетворяет)$

Ответ:

$x = 3$

г) Решить: $x^{2} + \sqrt{(x - 3)^{2}} - 9 = 0$

Шаг 1. Раскроем модуль:

$\sqrt{(x - 3)^{2}} = ∣ x - 3 ∣$

Тогда уравнение:

$x^{2} + ∣ x - 3 ∣ - 9 = 0$

Шаг 2. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$

Тогда $∣ x - 3 ∣ = x - 3$ , уравнение:

$x^{2} + x - 3 - 9 = 0 \Rightarrow x^{2} + x - 12 = 0$ $D = 1 + 48 = 49 \Rightarrow x_{1} = \frac{- 1 - 7}{2} = - 4 (не подходит)$ $x_{2} = \frac{- 1 + 7}{2} = 3 (подходит)$

Случай 2: $x - 3 < 0 \Rightarrow x < 3$

Тогда $∣ x - 3 ∣ = - (x - 3) = - x + 3$ , уравнение:

$x^{2} - x + 3 - 9 = 0 \Rightarrow x^{2} - x - 6 = 0$ $D = 1 + 24 = 25 \Rightarrow x_{1} = \frac{1 - 5}{2} = - 2$ $x_{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3 (на границе, но условие x < 3 \Rightarrow не подходит)$