ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Укажите два рациональных и два иррациональных числа, принадлежащих данному промежутку;

а) $\left(0,2; \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$;

б) $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$;

в) $(0,21; 0,51)$;

г) $(0,$$\mathrm{}$$(0,21; 0,22)$

Указать два рациональных и два иррациональных числа, принадлежащих данному промежутку;

а) $\left(0,2; \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$;

Диапазон искомых чисел:

$$0,2 < x < \frac{1}{\sqrt{2}};$$ $$0,04 < x^2 < \frac{1}{2};$$ $$0,04 < x^2 < 0,5;$$

Примеры таких чисел:

$$(x_1)^2 = \frac{9}{100} = 0,09 \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{3}{10} = 0,3;$$ $$(x_2)^2 = \frac{25}{100} = 0,25 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{5}{10} = 0,5;$$ $$(x_3)^2 = \frac{7}{100} = 0,07 \quad \Rightarrow \quad x_3 = \sqrt{0,07};$$ $$(x_4)^2 = \frac{23}{100} = 0,23 \quad \Rightarrow \quad x_4 = \sqrt{0,23};$$

Ответ: $0,3; 0,5; \sqrt{0,07}; \sqrt{0,23}$.

б) $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$;

Диапазон искомых чисел:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}};$$ $$\frac{1}{3} < x^2 < \frac{1}{2};$$ $$0,(3) < x^2 < 0,5;$$

Примеры таких чисел:

$$(x_1)^2 = \frac{36}{100} = 0,36 \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{6}{10} = 0,6;$$ $$(x_2)^2 = \frac{49}{100} = 0,49 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{7}{10} = 0,7;$$ $$(x_3)^2 = \frac{37}{100} = 0,37 \quad \Rightarrow \quad x_3 = \sqrt{0,37};$$ $$(x_4)^2 = \frac{43}{100} = 0,43 \quad \Rightarrow \quad x_4 = \sqrt{0,43};$$

Ответ: $0,6; 0,7; \sqrt{0,37}; \sqrt{0,43}$.

в) $(0,21; 0,51)$;

Диапазон искомых чисел:

$$0,21 < x < 0,51;$$ $$0,0441 < x^2 < 0,2601;$$

Примеры таких чисел:

$$x_1 = 0,23 \text{ и } x_2 = 0,5;$$ $$(x_3)^2 = \frac{1187}{10\,000} = 0,1187 \quad \Rightarrow \quad x_3 = \sqrt{0,1187};$$ $$(x_4)^2 = \frac{2243}{10\,000} = 0,2243 \quad \Rightarrow \quad x_4 = \sqrt{0,2243};$$

Ответ: $0,23; 0,5; \sqrt{0,1187}; \sqrt{0,2243}$.

г) $(0,21; 0,22)$;

Диапазон искомых чисел:

$$0,21 < x < 0,22;$$ $$0,0441 < x^2 < 0,0484;$$

Примеры таких чисел:

$$x_1 = 0,214 \text{ и } x_2 = 0,219;$$ $$(x_3)^2 = \frac{443}{10\,000} = 0,0443 \quad \Rightarrow \quad x_3 = \sqrt{0,0443};$$ $$(x_4)^2 = \frac{479}{10\,000} = 0,0479 \quad \Rightarrow \quad x_4 = \sqrt{0,0479};$$

Ответ: $0,214; 0,219; \sqrt{0,0443}; \sqrt{0,0479}$.

а)

Промежуток: $\left(0,2; \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

Определим диапазон искомых чисел:

Мы ищем числа, которые принадлежат промежутку $(0,2; \frac{1}{\sqrt{2}})$, то есть:

$$0,2 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Чтобы удобнее работать с выражениями, возведем обе границы неравенства в квадрат:

$$0,2^2 < x^2 < \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2.$$

Переходя к числовым значениям:

$$0,04 < x^2 < \frac{1}{2}.$$

Таким образом, $x^2$ должно лежать в интервале $(0,04; 0,5)$.

Примеры рациональных и иррациональных чисел:

Для того чтобы найти такие числа, рассмотрим числа $x$, у которых квадраты лежат в интервале $(0,04; 0,5)$.

Рациональные числа:
Начнем с рациональных чисел, то есть тех, которые могут быть записаны как дроби с целыми числителями и знаменателями.Пусть $(x_1)^2 = \frac{9}{100} = 0,09$, тогда:$$x_1 = \frac{3}{10} = 0,3.$$Это число рационально и лежит в интервале $(0,2; 0,5)$.Пусть $(x_2)^2 = \frac{25}{100} = 0,25$, тогда:$$x_2 = \frac{5}{10} = 0,5.$$Это также рациональное число, и оно лежит в пределах интервала $(0,2; 0,5)$.

Иррациональные числа:
Теперь найдём иррациональные числа, то есть те, которые не могут быть представлены в виде простых дробей, например, квадратные корни из чисел, которые не являются полными квадратами.Пусть $(x_3)^2 = \frac{7}{100} = 0,07$, тогда:$$x_3 = \sqrt{0,07}.$$Это иррациональное число, и оно лежит в интервале $(0,2; 0,5)$.Пусть $(x_4)^2 = \frac{23}{100} = 0,23$, тогда:$$x_4 = \sqrt{0,23}.$$Это тоже иррациональное число, которое лежит в интервале $(0,2; 0,5)$.

Ответ для части (а):
$0,3; 0,5; \sqrt{0,07}; \sqrt{0,23}$.

б)

Промежуток: $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

Определим диапазон искомых чисел:

Мы ищем числа, которые принадлежат промежутку $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$, то есть:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Возведем обе границы неравенства в квадрат, чтобы работать с числами:

$$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 < x^2 < \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2,$$

что даёт:

$$\frac{1}{3} < x^2 < \frac{1}{2}.$$

Переходя к десятичным числам:

$$0,3333\ldots < x^2 < 0,5.$$

Примеры рациональных и иррациональных чисел:

Рациональные числа:Пусть $(x_1)^2 = \frac{36}{100} = 0,36$, тогда:$$x_1 = \frac{6}{10} = 0,6.$$Это рациональное число, которое лежит в интервале $(0,3333\ldots; 0,5)$.Пусть $(x_2)^2 = \frac{49}{100} = 0,49$, тогда:$$x_2 = \frac{7}{10} = 0,7.$$Это также рациональное число, и оно лежит в пределах интервала $(0,3333\ldots; 0,5)$.

Иррациональные числа:Пусть $(x_3)^2 = \frac{37}{100} = 0,37$, тогда:$$x_3 = \sqrt{0,37}.$$Это иррациональное число, которое лежит в интервале $(0,3333\ldots; 0,5)$.Пусть $(x_4)^2 = \frac{43}{100} = 0,43$, тогда:$$x_4 = \sqrt{0,43}.$$Это также иррациональное число, которое лежит в интервале $(0,3333\ldots; 0,5)$.

Ответ для части (б):
$0,6; 0,7; \sqrt{0,37}; \sqrt{0,43}$.

в)

Промежуток: $(0,21; 0,51)$.

Определим диапазон искомых чисел:Мы ищем числа, которые принадлежат промежутку $(0,21; 0,51)$, то есть:$$0,21 < x < 0,51.$$Возведем обе границы неравенства в квадрат:$$0,21^2 < x^2 < 0,51^2,$$что даёт:$$0,0441 < x^2 < 0,2601.$$

Примеры рациональных и иррациональных чисел:

Рациональные числа:

Пусть $x_1 = 0,23$, это рациональное число, которое лежит в интервале $(0,21; 0,51)$.

Пусть $x_2 = 0,5$, это также рациональное число, которое лежит в интервале $(0,21; 0,51)$.

Иррациональные числа:

Пусть $(x_3)^2 = \frac{1187}{10\,000} = 0,1187$, тогда:$$x_3 = \sqrt{0,1187}.$$Это иррациональное число, которое лежит в интервале $(0,21; 0,51)$.

Пусть $(x_4)^2 = \frac{2243}{10\,000} = 0,2243$, тогда:$$x_4 = \sqrt{0,2243}.$$Это также иррациональное число, которое лежит в интервале $(0,21; 0,51)$.

Ответ для части (в):
$0,23; 0,5; \sqrt{0,1187}; \sqrt{0,2243}$.

г)

Промежуток: $(0,21; 0,22)$.

Определим диапазон искомых чисел:Мы ищем числа, которые принадлежат промежутку $(0,21; 0,22)$, то есть:$$0,21 < x < 0,22.$$Возведем обе границы неравенства в квадрат:$$0,21^2 < x^2 < 0,22^2,$$что даёт:$$0,0441 < x^2 < 0,0484.$$

Примеры рациональных и иррациональных чисел:

Рациональные числа:

Пусть $x_1 = 0,214$, это рациональное число, которое лежит в интервале $(0,21; 0,22)$.

Пусть $x_2 = 0,219$, это также рациональное число, которое лежит в интервале $(0,21; 0,22)$.

Иррациональные числа:

Пусть $(x_3)^2 = \frac{443}{10\,000} = 0,0443$, тогда:$$x_3 = \sqrt{0,0443}.$$Это иррациональное число, которое лежит в интервале $(0,21; 0,22)$.

Пусть $(x_4)^2 = \frac{479}{10\,000} = 0,0479$, тогда:$$x_4 = \sqrt{0,0479}.$$Это также иррациональное число, которое лежит в интервале $(0,21; 0,22)$.

Ответ для части (г):
$0,214; 0,219; \sqrt{0,0443}; \sqrt{0,0479}$.

Ответы:

• Часть а): $0,3; 0,5; \sqrt{0,07}; \sqrt{0,23}$.
• Часть б): $0,6; 0,7; \sqrt{0,37}; \sqrt{0,43}$.
• Часть в): $0,23; 0,5; \sqrt{0,1187}; \sqrt{0,2243}$.
• Часть г): $0,214; 0,219; \sqrt{0,0443}; \sqrt{0,0479}$.