ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть e > 0. Множество всех точек x числовой прямой, удовлетворяющих неравенству а — e < x < а + e, называют е-окрестностъю точки а, при этом точки а — e и а + e называют граничными точками е-окрестности точки а. При каких e > 0 точка 12,35 лежит в е-окрестности точки:

а) 12,5;

б) 12,2

При каких значениях $\varepsilon > 0$ точка 12,35 лежит в $\varepsilon$-окрестности:

а) Точки 12,5;

Первое неравенство:

$$12,5 — \varepsilon < 12,35;$$ $$-\varepsilon < -0,15;$$ $$\varepsilon > 0,15;$$

Второе неравенство:

$$12,5 + \varepsilon > 12,35;$$ $$\varepsilon > -0,15;$$

Ответ: $\varepsilon > 0,15$.

б) Точки 12,2;

Первое неравенство:

$$12,2 — \varepsilon < 12,35;$$ $$-\varepsilon < 0,15;$$ $$\varepsilon > -0,15;$$

Второе неравенство:

$$12,2 + \varepsilon > 12,35;$$ $$\varepsilon > 0,15;$$

Ответ: $\varepsilon > 0,15$.

При каких значениях $\varepsilon > 0$ точка 12,35 лежит в $\varepsilon$-окрестности:

а) Точки 12,5:

Точка $12,35$ должна лежать в $\varepsilon$-окрестности точки 12,5. Это означает, что расстояние между точкой 12,35 и точкой 12,5 должно быть меньше или равно $\varepsilon$. Мы можем записать это как:

$$|12,35 — 12,5| < \varepsilon$$

1) Первое неравенство:

Рассмотрим выражение $12,35 — 12,5$. Оно даёт:

$$12,35 — 12,5 = -0,15$$

Теперь, используя это, получаем первое неравенство:

$$|12,35 — 12,5| = |-0,15| = 0,15$$

Это неравенство записывается как:

$$\varepsilon > 0,15$$

Так как $\varepsilon$ должно быть положительным числом, мы получаем:

$$\varepsilon > 0,15$$

2) Второе неравенство:

Теперь мы проверим второе неравенство. Согласно определению окрестности, точка 12,35 должна быть строго меньше точки $12,5 + \varepsilon$, то есть:

$$12,5 + \varepsilon > 12,35$$

Преобразуем это неравенство:

$$\varepsilon > 12,35 — 12,5$$ $$\varepsilon > -0,15$$

Это неравенство всегда выполняется, поскольку $\varepsilon > 0$.

Ответ для части а):

Для того чтобы точка 12,35 лежала в $\varepsilon$-окрестности точки 12,5, должно выполняться неравенство:

$$\varepsilon > 0,15$$

б) Точки 12,2:

Точка 12,35 должна лежать в $\varepsilon$-окрестности точки 12,2. Точно так же, как и в предыдущем случае, расстояние между точкой 12,35 и точкой 12,2 должно быть меньше или равно $\varepsilon$. Мы можем записать это как:

$$|12,35 — 12,2| < \varepsilon$$

1) Первое неравенство:

Рассмотрим выражение $12,35 — 12,2$. Оно даёт:

$$12,35 — 12,2 = 0,15$$

Теперь, используя это, получаем первое неравенство:

$$|12,35 — 12,2| = |0,15| = 0,15$$

Это неравенство записывается как:

$$\varepsilon > 0,15$$

Так как $\varepsilon$ должно быть положительным числом, мы получаем:

$$\varepsilon > 0,15$$

2) Второе неравенство:

Теперь проверим второе неравенство. Согласно определению окрестности, точка 12,35 должна быть строго больше точки $12,2 — \varepsilon$, то есть:

$$12,2 + \varepsilon > 12,35$$

Преобразуем это неравенство:

$$\varepsilon > 12,35 — 12,2$$ $$\varepsilon > 0,15$$

Это неравенство снова всегда выполняется, так как $\varepsilon > 0$.

Ответ для части б):

Для того чтобы точка 12,35 лежала в $\varepsilon$-окрестности точки 12,2, должно выполняться неравенство:

$$\varepsilon > 0,15$$

Итоговый ответ:

Для обеих частей задачи (и для точки 12,5, и для точки 12,2) требуется, чтобы:

$$\varepsilon > 0,15$$