ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Ha числовой прямой отмечены точки A(12a + 6а²) и B(-2a + 3). При каких значениях а точка C лежит между A и B, если:

а) C(-2);

б) C(a) ?

На числовой прямой отмечены точки $A(12a + 6a^2)$ и $B(-2a + 3)$. При каких значениях $a$ точка $C$ лежит между $A$ и $B$, если:

а) $C(-2)$;

Первое неравенство:

$$12a + 6a^2 < -2;$$ $$12a + 6a^2 + 2 < 0;$$ $$3a^2 + 6a + 1 < 0;$$ $$D = 6^2 — 4 \cdot 3 = 36 — 12 = 24 = 4 \cdot 6, \text{ тогда:}$$ $$a = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{2 \cdot 3} = \frac{-3 \pm \sqrt{6}}{3} = -1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3};$$ $$\left(a — \left(-1 — \frac{\sqrt{6}}{3}\right)\right)\left(a — \left(\frac{\sqrt{6}}{3} — 1\right)\right) < 0;$$ $$-1 — \frac{\sqrt{6}}{3} < a < \frac{\sqrt{6}}{3} — 1;$$

Второе неравенство:

$$-2a + 3 > -2;$$ $$-2a > -5;$$ $$2a < 5;$$ $$a < 2,5;$$

Обратные неравенства:

$$12a + 6a^2 > -2 \text{ и } -2a + 3 < -2;$$ $$a < -1 — \frac{\sqrt{6}}{3} \text{ или } a > \frac{\sqrt{6}}{3} — 1 \text{ и } a > 2,5;$$

Ответ: $-1 — \frac{\sqrt{6}}{3} < a < \frac{\sqrt{6}}{3} — 1; \quad a > 2,5.$

б) $C(a)$;

Первое неравенство:

$$12a + 6a^2 < a;$$ $$6a^2 + 11a < 0;$$ $$(6a + 11)a < 0;$$ $$-\frac{11}{6} < a < 0;$$

Второе неравенство:

$$-2a + 3 > a;$$ $$-3a > -3;$$ $$a < 1;$$

Обратные неравенства:

$$12a + 6a^2 > a \text{ и } -2a + 3 < a;$$ $$a < -\frac{11}{6} \text{ или } a > 0 \text{ и } a > 1;$$

Ответ: $-\frac{11}{6} < a < 0; \quad a > 1.$

На числовой прямой отмечены точки $A(12a + 6a^2)$ и $B(-2a + 3)$. При каких значениях $a$ точка $C$ лежит между $A$ и $B$, если:

а) $C(-2)$:

Нам нужно найти такие значения $a$, при которых точка $C(-2)$ лежит между точками $A$ и $B$, то есть $A < C < B$ или $B < C < A$.

Определение значений для точек A и B:

• $A = 12a + 6a^2$
• $B = -2a + 3$

Таким образом, нам нужно найти значения $a$, при которых точка $C(-2)$ лежит между точками $A$ и $B$. Для этого рассмотрим два случая.

1) Первое неравенство: $A < C$

Мы начинаем с того, чтобы найти, когда точка $C(-2)$ лежит правее точки $A$, то есть $A < C$. Для этого решим неравенство:

$$12a + 6a^2 < -2$$

1.1) Преобразование неравенства:

Переносим все элементы на одну сторону:

$$12a + 6a^2 + 2 < 0$$ $$6a^2 + 12a + 2 < 0$$

Делим обе части на 2 для упрощения:

$$3a^2 + 6a + 1 < 0$$

1.2) Решение квадратного неравенства:

Для решения квадратного неравенства используем дискриминант. Напоминаем, что для неравенства $ax^2 + bx + c < 0$, находим дискриминант $D$ по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем случае:

$$a = 3, \quad b = 6, \quad c = 1$$

Подставим значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 6^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 36 — 12 = 24$$

Теперь находим корни уравнения $3a^2 + 6a + 1 = 0$ по формуле:

$$a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3}$$ $$a = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{6}}{3}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$a = -1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$$

Теперь записываем решение неравенства. Поскольку парабола $3a^2 + 6a + 1$ открывается вверх (ведущий коэффициент положителен), она будет меньше нуля между корнями:

$$-1 — \frac{\sqrt{6}}{3} < a < -1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$$

1.3) Интервал решения для первого неравенства:

Таким образом, первое неравенство $A < C$ выполняется при $-1 — \frac{\sqrt{6}}{3} < a < -1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$.

2) Второе неравенство: $C < B$

Теперь рассмотрим, когда точка $C(-2)$ лежит левее точки $B$, то есть $C < B$. Для этого решим неравенство:

$$-2a + 3 > -2$$

2.1) Преобразование неравенства:

$$-2a > -5$$

Умножаем обе части на $-1$, меняем знак неравенства:

$$2a < 5$$ $$a < 2.5$$

3) Обратные неравенства

Теперь нам нужно объединить два условия:

1. $A < C$, то есть $-1 — \frac{\sqrt{6}}{3} < a < -1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$
2. $C < B$, то есть $a < 2.5$

Таким образом, решение задачи сводится к тому, чтобы объединить эти два условия. Обратные неравенства будут:

$$a < -1 — \frac{\sqrt{6}}{3} \quad \text{или} \quad a > -1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \quad \text{и} \quad a < 2.5$$

Ответ: $-1 — \frac{\sqrt{6}}{3} < a < -1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$ и $a < 2.5$.

б) $C(a)$:

Теперь нужно найти такие значения $a$, при которых точка $C(a)$ лежит между точками $A$ и $B$, то есть $A < C < B$ или $B < C < A$.

1) Первое неравенство: $A < C$

Нам нужно, чтобы точка $C(a)$ была правее точки $A$, то есть:

$$12a + 6a^2 < a$$

1.1) Преобразование неравенства:

Переносим все элементы на одну сторону:

$$12a + 6a^2 — a < 0$$ $$6a^2 + 11a < 0$$

1.2) Решение неравенства:

Решим неравенство $6a^2 + 11a < 0$. Оно факторизуется:

$$a(6a + 11) < 0$$

Для решения этого неравенства анализируем знаки произведения. Произведение будет отрицательным, когда один из множителей отрицателен, а другой положителен. Корни уравнения $6a^2 + 11a = 0$ — это $a = 0$ и $a = -\frac{11}{6}$. Таким образом, неравенство выполняется, когда:

$$-\frac{11}{6} < a < 0$$

2) Второе неравенство: $C < B$

Нам нужно, чтобы точка $C(a)$ была левее точки $B$, то есть:

$$-2a + 3 > a$$

2.1) Преобразование неравенства:

$$-3a > -3$$

Умножаем обе части на $-1$, меняем знак неравенства:

$$a < 1$$

3) Обратные неравенства

Теперь нужно объединить два условия:

1. $A < C$, то есть $-\frac{11}{6} < a < 0$
2. $C < B$, то есть $a < 1$

Таким образом, решение задачи сводится к тому, чтобы объединить эти два условия:

$$-\frac{11}{6} < a < 0 \quad \text{и} \quad a < 1$$

Ответ: $-\frac{11}{6} < a < 0$ и $a < 1$.