ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Число $m$ называют точной верхней границей числового множества $X$, если для любого числа $x \in X$ справедливо неравенство $x \leq m$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ (ε — буква греческого алфавита эпсилон) существует такое число $x_\varepsilon \in X$, что $x_\varepsilon > m — \varepsilon$. Найдите точную верхнюю границу множества $X$, если:

a) $X = [0; 1]$;

b) $X = [0; 1)$;

в) $X = \left\{ x \mid x = \frac{1}{n}, \, n \in \mathbb{N} \right\}$;

г) $X = \left\{ x \mid x = \frac{1 + 5n}{n}, \, n \in \mathbb{N} \right\}$.

Число $m$ является верхней границей числового множества $X$, если для любого числа $x \in X$ справедливо неравенство $x \leq m$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое число $x_\varepsilon \in X$, что $x_\varepsilon > m — \varepsilon$.

а) $X = [0; 1]$

$$0 \leq x \leq 1 \quad \Rightarrow \quad x \leq 1 \quad \Rightarrow \quad m = 1;$$ $$\varepsilon > 0 \quad \Rightarrow \quad 1 — \varepsilon < 1;$$ $$x_\varepsilon \leq 1 \quad \Rightarrow \quad x_\varepsilon > 1 — \varepsilon \quad \Rightarrow \quad x_\varepsilon > m — \varepsilon;$$

Ответ: 1.

б) $X = [0; 1)$

$$0 \leq x < 1 \quad \Rightarrow \quad x < 1 \quad \Rightarrow \quad m = 1;$$ $$\varepsilon > 0 \quad \Rightarrow \quad 1 — \varepsilon < 1;$$ $$x_\varepsilon < 1 \quad \Rightarrow \quad x_\varepsilon > 1 — \varepsilon \quad \Rightarrow \quad x_\varepsilon > m — \varepsilon;$$

Ответ: 1.

в) $X = \left\{ x \mid x = \frac{1}{n}, \, n \in \mathbb{N} \right\}$

Каждое следующее число меньше предыдущего:

$$\frac{1}{n+1} — \frac{1}{n} = \frac{n — (n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n^2 + n} < 0;$$

Значит наибольшее значение $x$:

$$x = \frac{1}{1} = 1;$$

Верхняя граница множества $X$:

$$x \leq 1 \quad \Rightarrow \quad m = 1;$$ $$\varepsilon > 0 \quad \Rightarrow \quad 1 — \varepsilon < 1;$$ $$x_\varepsilon \leq 1 \quad \Rightarrow \quad x_\varepsilon > 1 — \varepsilon \quad \Rightarrow \quad x_\varepsilon > m — \varepsilon;$$

Ответ: 1.

г) $X = \left\{ x \mid x = \frac{1 + 5n}{n}, \, n \in \mathbb{N} \right\}$

Каждое следующее число меньше предыдущего:

$$\frac{1 + 5(n+1)}{n+1} — \frac{1 + 5n}{n} = \frac{(6 + 5n)n — (1 + 5n)(n+1)}{n(n+1)} =$$ $$= \frac{6n + 5n^2 — n — 1 — 5n^2 — 5n}{n(n+1)} = \frac{-1}{n^2 + n} < 0;$$

Значит наибольшее значение $x$:

$$x = \frac{1 + 5 \cdot 1}{1} = 1 + 5 = 6;$$

Верхняя граница множества $X$:

$$x \leq 6 \quad \Rightarrow \quad m = 6;$$ $$\varepsilon > 0 \quad \Rightarrow \quad 6 — \varepsilon < 6;$$ $$x_\varepsilon \leq 6 \quad \Rightarrow \quad x_\varepsilon > 6 — \varepsilon \quad \Rightarrow \quad x_\varepsilon > m — \varepsilon;$$

Ответ: 6.

Число $m$ является верхней границей числового множества $X$, если для любого числа $x \in X$ выполняется неравенство $x \leq m$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое число $x_\varepsilon \in X$, что $x_\varepsilon > m — \varepsilon$. Это означает, что $m$ — наименьшая из возможных верхних границ множества $X$, т.е. её нельзя уменьшить, сохраняя при этом свойства верхней границы.

Теперь рассмотрим конкретные примеры для разных множеств.

а) $X = [0; 1]$

Множество $X = [0; 1]$ — это отрезок, включающий все числа от 0 до 1, включая сами 0 и 1.

Шаг 1: Проверяем, что $m = 1$ является верхней границей множества $X$.

Для любого числа $x \in X$, где $x \in [0; 1]$, выполняется неравенство $x \leq 1$. Это очевидно, поскольку 1 — это верхняя граница отрезка $[0; 1]$, и все числа в этом интервале не могут быть больше 1.

Шаг 2: Проверяем, что для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $x_\varepsilon \in X$, что $x_\varepsilon > 1 — \varepsilon$.

Пусть $\varepsilon > 0$. Рассмотрим число $x_\varepsilon = 1 — \frac{\varepsilon}{2}$. Это число принадлежит множеству $X$, так как $0 \leq x_\varepsilon < 1$. Для этого числа выполняется:

$$x_\varepsilon = 1 — \frac{\varepsilon}{2} > 1 — \varepsilon.$$

Таким образом, для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $x_\varepsilon$, что $x_\varepsilon > 1 — \varepsilon$, и это число лежит в интервале $[0; 1]$.

Ответ: $m = 1$.

б) $X = [0; 1)$

Множество $X = [0; 1)$ — это отрезок, включающий все числа от 0 до 1, но не включая 1.

Шаг 1: Проверяем, что $m = 1$ является верхней границей множества $X$.

Для любого числа $x \in X$, где $x \in [0; 1)$, выполняется неравенство $x < 1$. То есть, все числа в этом интервале строго меньше 1, но не могут быть больше 1, следовательно, 1 — верхняя граница множества.

Шаг 2: Проверяем, что для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $x_\varepsilon \in X$, что $x_\varepsilon > 1 — \varepsilon$.

Пусть $\varepsilon > 0$. Рассмотрим число $x_\varepsilon = 1 — \frac{\varepsilon}{2}$. Это число принадлежит множеству $X$, так как $0 \leq x_\varepsilon < 1$. Для этого числа выполняется:

$$x_\varepsilon = 1 — \frac{\varepsilon}{2} > 1 — \varepsilon.$$

Таким образом, для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $x_\varepsilon$, что $x_\varepsilon > 1 — \varepsilon$, и это число лежит в интервале $[0; 1)$.

Ответ: $m = 1$.

в) $X = \left\{ x \mid x = \frac{1}{n}, \, n \in \mathbb{N} \right\}$

Множество $X = \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \right\}$ состоит из чисел вида $\frac{1}{n}$, где $n$ — натуральное число. Таким образом, $X = \left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots \right\}$.

Шаг 1: Проверяем, что $m = 1$ является верхней границей множества $X$.

Для всех чисел $x \in X$, где $x = \frac{1}{n}$ для $n \in \mathbb{N}$, выполняется неравенство:

$$x = \frac{1}{n} \leq 1.$$

Это верно, так как $\frac{1}{n}$ всегда меньше или равно 1 для любого натурального числа $n$.

Шаг 2: Проверяем, что для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $x_\varepsilon \in X$, что $x_\varepsilon > 1 — \varepsilon$.

Пусть $\varepsilon > 0$. Тогда существует $n \in \mathbb{N}$, такое что:

$$\frac{1}{n} > 1 — \varepsilon.$$

Это выполняется, если $n$ достаточно маленькое. Например, при $n = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} \right\rceil$, мы получаем:

$$\frac{1}{n} > 1 — \varepsilon,$$

что означает, что для любого $\varepsilon > 0$ существует число $x_\varepsilon \in X$, которое больше $1 — \varepsilon$.

Ответ: $m = 1$.

г) $X = \left\{ x \mid x = \frac{1 + 5n}{n}, \, n \in \mathbb{N} \right\}$

Множество $X = \left\{ \frac{1 + 5n}{n} \mid n \in \mathbb{N} \right\}$ состоит из чисел вида $\frac{1 + 5n}{n} = 1 + \frac{5}{n}$, где $n$ — натуральное число. Например:

$$X = \{6, 4, 3.3333, 3, \dots \}$$

Шаг 1: Проверяем, что $m = 6$ является верхней границей множества $X$.

Рассмотрим первое число множества $X$, которое получается при $n = 1$:

$$x_1 = \frac{1 + 5 \cdot 1}{1} = 6.$$

Для всех последующих $n$ значения $x_n = 1 + \frac{5}{n}$ уменьшаются, то есть $x_2 = 4, x_3 = 3.3333$, и так далее. Следовательно, $6$ — это наибольшее число в множестве, и оно является верхней границей.

Шаг 2: Проверяем, что для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $x_\varepsilon \in X$, что $x_\varepsilon > 6 — \varepsilon$.

Пусть $\varepsilon > 0$. Рассмотрим число $x_\varepsilon = 6 — \frac{\varepsilon}{2}$. Это число принадлежит множеству $X$, так как для некоторого $n$ можно найти такое $x_\varepsilon$, что оно будет больше $6 — \varepsilon$. Например, для $n = 1$, мы видим, что $x_1 = 6$, что всегда больше любого значения $6 — \varepsilon$.

Ответ: $m = 6$.

Итоговый ответ:

• для множества $X = [0; 1]$, верхняя граница: $m = 1$;
• для множества $X = [0; 1)$, верхняя граница: $m = 1$;
• для множества $X = \left\{ x \mid x = \frac{1}{n}, \, n \in \mathbb{N} \right\}$, верхняя граница: $m = 1$;
• для множества $X = \left\{ x \mid x = \frac{1 + 5n}{n}, \, n \in \mathbb{N} \right\}$, верхняя граница: $m = 6$.