ГДЗ по Алгебре 10 Класс Профильный Уровень Задачник 📕 Мордкович — Все Части

Алгебра

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Обзор задачника «Алгебра. 10 класс» Мордкович (Профильный уровень)

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Особенности задачника

Одной из главных особенностей задачника является его структурированность и ориентация на постепенное усложнение материала. Учебник позволяет ученикам не только закрепить базовые знания, но и развить аналитическое мышление за счёт решения сложных задач.

Авторы уделяют большое внимание логике изложения: каждый новый раздел начинается с теоретической части, где подробно объясняются основные понятия и методы, а затем следуют задания с возрастающим уровнем сложности. Это делает процесс обучения комфортным и последовательным.

Преимущества

Разнообразие заданийВ задачнике представлены задачи разного уровня сложности — от базовых до олимпиадных. Это позволяет использовать книгу как для текущей учёбы, так и для подготовки к экзаменам.
Пошаговое обучениеМатериал изложен таким образом, что каждый новый раздел основывается на ранее изученном. Это помогает ученикам лучше усваивать сложные темы.
Практическая направленностьЗадачи часто связаны с реальными примерами, что делает процесс обучения более интересным и прикладным.
Подготовка к ЕГЭКнига идеально подходит для подготовки к профильной части Единого государственного экзамена по математике, так как включает задания, аналогичные тем, что встречаются на экзамене.
Дополнительные материалыВ конце книги часто можно найти ответы или указания к решению сложных задач, что помогает ученикам проверять себя и понимать ошибки.

Недостатки

Несмотря на множество плюсов, у задачника есть и свои минусы. Например, некоторые темы могут быть изложены слишком кратко, что требует от ученика дополнительных усилий для понимания. Также сложные задачи без подробных решений могут вызывать трудности у тех, кто изучает материал самостоятельно.

Итог

Задачник Мордковича — это отличный выбор для школьников, которые хотят углубить свои знания по алгебре и успешно подготовиться к экзаменам. Книга сочетает в себе доступность, логичность и разнообразие заданий, что делает её универсальным инструментом для обучения.

Если вы ищете учебное пособие, которое поможет вам освоить сложные темы алгебры, этот задачник — именно то, что нужно!

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Решите уравнение методом введения новой переменной:

а) 3/(x^2-2x-2) — x^2+2x=0;

б) x/(x^2-2) +6(x^2-2)/x = 7;

в) 1-15/(x^2-4x)^2 = 2/(x^2-4x);

г) (x-3)/(x^2+10x+27) = (x^2+10x+27)/(x-3)=-2.

Краткий ответ:

а) $\frac{3}{x^{2} - 2 x - 2} - x^{2} + 2 x = 0$ ;

$\frac{3}{x (x - 2)} - x (x - 2) = 0;$

Пусть $y = x (x - 2)$ , тогда:

$\frac{3}{y - 2} - y = 0 ∣ \cdot (y - 2);$ $3 - y (y - 2) = 0;$ $3 - y^{2} + 2 y = 0;$ $y^{2} - 2 y - 3 = 0;$ $D = 2^{2} + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, тогда:$ $y_{1} = \frac{2 - 4}{2} = - 1 и y_{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3;$

Первое значение:

$x (x - 2) = - 1;$ $x^{2} - 2 x + 1 = 0;$ $(x - 1)^{2} = 0;$ $x - 1 = 0;$ $x = 1;$

Второе значение:

$x (x - 2) = 3;$ $x^{2} - 2 x - 3 = 0;$ $x_{1} = - 1 и x_{2} = 3;$

Ответ: $- 1; 1; 3$ .

б) $\frac{x}{x^{2} - 2} + \frac{6 (x^{2} - 2)}{x} = 7$ ;

Пусть $y = \frac{x}{x^{2} - 2}$ , тогда:

$y + 6 \cdot \frac{1}{y} = 7 ∣ \cdot y;$ $y^{2} + 6 = 7 y;$ $y^{2} - 7 y + 6 = 0;$ $D = 7^{2} - 4 \cdot 6 = 49 - 24 = 25, тогда:$ $y_{1} = \frac{7 - 5}{2} = 1 и y_{2} = \frac{7 + 5}{2} = 6;$

Первое значение:

$\frac{x}{x^{2} - 2} = 1;$ $x = x^{2} - 2;$ $x^{2} - x - 2 = 0;$ $D = 1^{2} + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, тогда:$ $x_{1} = \frac{1 - 3}{2} = - 1 и x_{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2;$

Второе значение:

$\frac{x}{x^{2} - 2} = 6;$ $x = 6 (x^{2} - 2);$ $6 x^{2} - x - 12 = 0;$ $D = 1^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 12 = 1 + 288 = 289, тогда:$ $x_{1} = \frac{1 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{- 16}{12} = - \frac{4}{3};$ $x_{2} = \frac{1 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2};$

Ответ: $- \frac{4}{3}; - 1; \frac{3}{2}; 2$ .

в) $1 - \frac{15}{(x^{2} - 4 x)^{2}} = \frac{2}{x^{2} - 4 x}$ ;

Пусть $y = x^{2} - 4 x$ , тогда:

$1 - \frac{15}{y^{2}} = \frac{2}{y} ∣ \cdot y^{2};$ $y^{2} - 15 = 2 y;$ $y^{2} - 2 y - 15 = 0;$ $D = 2^{2} + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64, тогда:$ $y_{1} = \frac{2 - 8}{2} = - 3 и y_{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5;$

Первое значение:

$x^{2} - 4 x = - 3;$ $x^{2} - 4 x + 3 = 0;$ $D = 4^{2} - 4 \cdot 3 = 16 - 12 = 4, тогда:$ $x_{1} = \frac{4 - 2}{2} = 1 и x_{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3;$

Второе значение:

$x^{2} - 4 x = 5;$ $x^{2} - 4 x - 5 = 0;$ $D = 4^{2} + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, тогда:$ $x_{1} = \frac{4 - 6}{2} = - 1 и x_{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5;$

Ответ: $- 1; 1; 3; 5$ .

г) $\frac{x - 3}{x^{2} + 10 x + 27} + \frac{x^{2} + 10 x + 27}{x - 3} = - 2$ ;

Пусть $y = \frac{x^{2} + 10 x + 27}{x - 3}$ , тогда:

$y + \frac{1}{y} = - 2 ∣ \cdot y;$ $y^{2} + 1 = - 2 y;$ $y^{2} + 2 y + 1 = 0;$ $(y + 1)^{2} = 0;$ $y + 1 = 0;$ $y = - 1;$

Значение переменной $x$ :

$\frac{x^{2} + 10 x + 27}{x - 3} = - 1;$ $x^{2} + 10 x + 27 = - (x - 3);$ $x^{2} + 10 x + 27 = 3 - x;$ $x^{2} + 11 x + 24 = 0;$ $D = 11^{2} - 4 \cdot 24 = 121 - 96 = 25, тогда:$ $x_{1} = \frac{- 11 - 5}{2} = - 8 и x_{2} = \frac{- 11 + 5}{2} = - 3;$

Ответ: $- 8; - 3$ .

Подробный ответ:

а) $\frac{3}{x^{2} - 2 x - 2} - x^{2} + 2 x = 0$ ;

Шаг 1. Преобразуем левую часть уравнения:

У нас есть выражение $\frac{3}{x^{2} - 2 x - 2} - x^{2} + 2 x = 0$ . Для удобства работы с ним начнем с того, чтобы выделить общий знаменатель для обеих частей уравнения.

$\frac{3}{x (x - 2)} - x (x - 2) = 0;$

Здесь выражение $x (x - 2)$ уже в виде произведения двух множителей. Это знаменатель для первой дроби, и умножение на это же выражение делает знаменатель одинаковым для всех членов уравнения. После умножения на $x (x - 2)$ у нас получится:

$\frac{3}{x (x - 2)} - x (x - 2) = 0;$

Шаг 2. Вводим замену для упрощения:

Введем замену $y = x (x - 2)$ , чтобы упростить вычисления. Таким образом, у нас получится:

$\frac{3}{y - 2} - y = 0 ∣ \cdot (y - 2);$

Шаг 3. Умножаем обе части на $(y - 2)$ :

Умножим обе стороны уравнения на $(y - 2)$ , чтобы избавиться от дробей. После этого у нас получится:

$3 - y (y - 2) = 0;$

Шаг 4. Раскрываем скобки:

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

$3 - y^{2} + 2 y = 0;$

Шаг 5. Переносим все в одну сторону:

Переносим все слагаемые в одну сторону уравнения, чтобы привести его к стандартной форме квадратного уравнения:

$y^{2} - 2 y - 3 = 0;$

Шаг 6. Решаем квадратное уравнение:

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $y^{2} - 2 y - 3 = 0$ дискриминант будет вычисляться по формуле $D = b^{2} - 4 a c$ , где $a = 1$ , $b = - 2$ , и $c = - 3$ :

$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 4 + 12 = 16$

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

$y_{1} = \frac{- (- 2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = - 1$ $y_{2} = \frac{- (- 2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

Шаг 7. Находим $x$ для каждого из значений $y$ :

Теперь, зная, что $y = x (x - 2)$ , решаем для $x$ два уравнения.

Первое значение:

$x (x - 2) = - 1;$ $x^{2} - 2 x + 1 = 0;$

Это квадратное уравнение можно решить, заметив, что оно имеет вид полного квадрата:

$(x - 1)^{2} = 0$

Таким образом, корень этого уравнения:

$x = 1$

Второе значение:

$x (x - 2) = 3;$ $x^{2} - 2 x - 3 = 0;$

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 4 + 12 = 16$

Находим корни:

$x_{1} = \frac{- (- 2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = - 1$ $x_{2} = \frac{- (- 2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

Ответ:

Корни уравнения: $x = - 1, 1, 3$ .

б) $\frac{x}{x^{2} - 2} + \frac{6 (x^{2} - 2)}{x} = 7$ ;

Шаг 1. Вводим замену:

Для упрощения введем замену $y = \frac{x}{x^{2} - 2}$ . Тогда у нас получится следующее уравнение:

$y + 6 \cdot \frac{1}{y} = 7 ∣ \cdot y;$

Шаг 2. Умножаем обе части на $y$ :

Умножаем обе стороны на $y$ (для того чтобы избавиться от дроби):

$y^{2} + 6 = 7 y;$

Шаг 3. Переносим все в одну сторону:

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$y^{2} - 7 y + 6 = 0;$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение:

Для решения этого квадратного уравнения используем дискриминант:

$D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$

Находим корни уравнения:

$y_{1} = \frac{- (- 7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 5}{2} = 1$ $y_{2} = \frac{- (- 7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 5}{2} = 6$

Шаг 5. Находим $x$ для каждого из значений $y$ :

Теперь решаем для каждого значения $y$ .

Первое значение:

$\frac{x}{x^{2} - 2} = 1;$ $x = x^{2} - 2;$

Переносим все в одну сторону:

$x^{2} - x - 2 = 0;$

Решаем с помощью дискриминанта:

$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 1 + 8 = 9$

Находим корни:

$x_{1} = \frac{- (- 1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = - 1$ $x_{2} = \frac{- (- 1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

Второе значение:

$\frac{x}{x^{2} - 2} = 6;$ $x = 6 (x^{2} - 2);$

Решаем это уравнение:

$6 x^{2} - x - 12 = 0;$

Используем дискриминант:

$D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 12) = 1 + 288 = 289$

Находим корни:

$x_{1} = \frac{- (- 1) - \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 17}{12} = - \frac{4}{3}$ $x_{2} = \frac{- (- 1) + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 17}{12} = \frac{3}{2}$

Ответ:

Корни уравнения: $x = - \frac{4}{3}, - 1, \frac{3}{2}, 2$ .

в) $1 - \frac{15}{(x^{2} - 4 x)^{2}} = \frac{2}{x^{2} - 4 x}$ ;

Шаг 1. Вводим замену:

Введем замену $y = x^{2} - 4 x$ , чтобы упростить уравнение:

$1 - \frac{15}{y^{2}} = \frac{2}{y} ∣ \cdot y^{2};$

Шаг 2. Умножаем на $y^{2}$ :

Умножаем обе стороны уравнения на $y^{2}$ :

$y^{2} - 15 = 2 y;$

Шаг 3. Переносим все в одну сторону:

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$y^{2} - 2 y - 15 = 0;$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение:

Используем дискриминант:

$D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15) = 4 + 60 = 64$

Находим корни:

$y_{1} = \frac{- (- 2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = - 3$ $y_{2} = \frac{- (- 2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = 5$

Шаг 5. Находим $x$ для каждого значения $y$ :

Первое значение:

$x^{2} - 4 x = - 3;$ $x^{2} - 4 x + 3 = 0;$

Решаем это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

Находим корни:

$x_{1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$ $x_{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$

Второе значение:

$x^{2} - 4 x = 5;$ $x^{2} - 4 x - 5 = 0;$

Решаем с помощью дискриминанта:

$D = 4^{2} + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36$

Находим корни:

$x_{1} = \frac{4 - 6}{2} = - 1$ $x_{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$

Ответ:

Корни уравнения: $x = - 1, 1, 3, 5$ .

г) $\frac{x - 3}{x^{2} + 10 x + 27} + \frac{x^{2} + 10 x + 27}{x - 3} = - 2$ ;

Шаг 1. Вводим замену для упрощения:

Предположим, что $y = \frac{x^{2} + 10 x + 27}{x - 3}$ . Тогда уравнение примет вид:

$y + \frac{1}{y} = - 2 ∣ \cdot y;$

Шаг 2. Умножаем обе стороны на $y$ :

Умножаем обе стороны на $y$ для устранения дробей:

$y^{2} + 1 = - 2 y;$

Шаг 3. Переносим все слагаемые в одну сторону:

Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:

$y^{2} + 2 y + 1 = 0;$

Шаг 4. Преобразуем уравнение:

Это уравнение можно представить как полный квадрат:

$(y + 1)^{2} = 0;$

Шаг 5. Находим корень:

Теперь, из уравнения $(y + 1)^{2} = 0$ , мы получаем:

$y + 1 = 0 \Rightarrow y = - 1.$

Шаг 6. Подставляем найденное значение $y$ :

Теперь, вспомнив, что $y = \frac{x^{2} + 10 x + 27}{x - 3}$ , подставляем $y = - 1$ в это выражение:

$\frac{x^{2} + 10 x + 27}{x - 3} = - 1;$

Шаг 7. Умножаем обе стороны на $x - 3$ :

Умножаем обе части уравнения на $x - 3$ (при условии, что $x \neq 3$ ):

$x^{2} + 10 x + 27 = - (x - 3);$

Шаг 8. Раскрываем скобки:

Раскрываем скобки на правой стороне:

$x^{2} + 10 x + 27 = - x + 3;$

Шаг 9. Переносим все слагаемые в одну сторону:

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

$x^{2} + 10 x + 27 + x - 3 = 0;$ $x^{2} + 11 x + 24 = 0;$

Шаг 10. Решаем квадратное уравнение:

Теперь решаем квадратное уравнение $x^{2} + 11 x + 24 = 0$ с помощью дискриминанта. Для этого у нас $a = 1$ , $b = 11$ , и $c = 24$ , поэтому дискриминант:

$D = b^{2} - 4 a c = 11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25.$

Теперь находим корни уравнения:

$x_{1} = \frac{- 11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{- 11 - 5}{2} = \frac{- 16}{2} = - 8;$ $x_{2} = \frac{- 11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{- 11 + 5}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3.$