ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Приведите пример, если это возможно, двух иррациональных различных чисел, таких, что одновременно:

а) их сумма и разность — рациональные числа;

б) их произведение и частное — рациональные числа.

Привести пример, если возможно, двух иррациональных чисел, таких, что одновременно:

а) Их сумма и разность — рациональные числа;

Пусть $a$ и $b$ — данные иррациональные числа, тогда:
$a + b = r \in \mathbb{Q} \quad \text{и} \quad a — b = k \in \mathbb{Q};$
$b = r — a;$
$a — (r — a) = k;$
$a — r + a = k;$
$2a = k + r;$
$a = \frac{k + r}{2} \in \mathbb{Q};$

Возникает противоречие, значит таких чисел нет;
Ответ: нет.

б) Их произведение и частное — рациональные числа;

Пусть $a$ и $b$ — данные иррациональные числа, тогда:
$a = \sqrt{13 \cdot 13 \cdot 2} = \sqrt{338};$
$b = \sqrt{2};$
$a \cdot b = \sqrt{338} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{13 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 2} = 13 \cdot 2 = 26;$
$\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{338}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{13 \cdot 13 \cdot 2}{2}} = \sqrt{13 \cdot 13} = 13;$

Ответ: $\sqrt{338}, \sqrt{2}$.

а) Их сумма и разность — рациональные числа

Нам нужно проверить, существуют ли два иррациональных числа, сумма и разность которых являются рациональными.

Дано:

• $a$ и $b$ — иррациональные числа.

Решение:

Пусть $a$ и $b$ — иррациональные числа, такие что их сумма и разность являются рациональными. Это можно записать следующим образом:

$$a + b = r \quad \text{(рациональное число)}$$ $$a — b = k \quad \text{(рациональное число)}$$

Из первого уравнения выразим $b$:

$$b = r — a$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$a — (r — a) = k$$

Раскроем скобки:

$$a — r + a = k$$ $$2a — r = k$$

Переносим $r$ в правую часть:

$$2a = k + r$$

Разделим обе стороны на 2:

$$a = \frac{k + r}{2}$$

Поскольку $k$ и $r$ — рациональные числа, то $a$ обязательно будет рациональным числом (сумма и частное рациональных чисел всегда рациональны).

Противоречие:

Однако мы предполагаем, что $a$ — иррациональное число. Получается, что $a$ должно быть рациональным числом, что противоречит нашему предположению о том, что $a$ иррационально. Таким образом, никакие два иррациональных числа не могут одновременно иметь рациональную сумму и разность.

Ответ: Таких чисел не существует.

б) Их произведение и частное — рациональные числа

Нам нужно найти два иррациональных числа, произведение и частное которых являются рациональными.

Дано:

• $a = \sqrt{338}$
• $b = \sqrt{2}$

Решение:

Произведение $a \cdot b$:

Для нахождения произведения $a \cdot b$ перемножим эти два числа:

$$a \cdot b = \sqrt{338} \cdot \sqrt{2}$$

Используем свойство корней: $\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{m \cdot n}$:

$$a \cdot b = \sqrt{338 \cdot 2}$$

Вычислим произведение внутри корня:

$$338 \cdot 2 = 676$$

Теперь извлечем квадратный корень из 676:

$$a \cdot b = \sqrt{676} = 26$$

Таким образом, произведение $a \cdot b = 26$, что является рациональным числом.

Частное $\frac{a}{b}$:

Теперь найдем частное $\frac{a}{b}$. Для этого разделим $a$ на $b$:

$$\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{338}}{\sqrt{2}}$$

Используем свойство корней: $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{m}{n}}$:

$$\frac{a}{b} = \sqrt{\frac{338}{2}}$$

Вычислим дробь внутри корня:

$$\frac{338}{2} = 169$$

Теперь извлечем квадратный корень из 169:

$$\frac{a}{b} = \sqrt{169} = 13$$

Таким образом, частное $\frac{a}{b} = 13$, что является рациональным числом.

Ответ: Числа $a = \sqrt{338}$ и $b = \sqrt{2}$ являются искомыми, так как их произведение и частное — рациональные числа.