ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Приведите пример двух различных иррациональных чисел, таких, что:

а) их сумма — рациональное число;

б) их разность — рациональное число;

в) их произведение — рациональное число;

г) их частное — иррациональное число.

Привести пример двух различных иррациональных чисел таких, что:

а) Их сумма — рациональное число:
$a = 1 — \sqrt{2};$
$b = 5 + \sqrt{2};$
$a + b = 1 — \sqrt{2} + 5 + \sqrt{2} = 1 + 5 = 6;$

б) Их разность — рациональное число:
$a = \sqrt{7};$
$b = \sqrt{7} — 9;$
$a — b = \sqrt{7} — (\sqrt{7} — 9) = \sqrt{7} — \sqrt{7} + 9 = 9;$

в) Их произведение — рациональное число:
$a = \sqrt{45};$
$b = \sqrt{5};$
$a \cdot b = \sqrt{45} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{45 \cdot 5} = \sqrt{225} = 15;$

г) Их частное — рациональное число:
$a = \sqrt{98};$
$b = \sqrt{2};$
$\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{98}{2}} = \sqrt{49} = 7$

а) Их сумма — рациональное число

Нам нужно найти два иррациональных числа, сумма которых является рациональной.

Дано:

• $a = 1 — \sqrt{2}$
• $b = 5 + \sqrt{2}$

Решение:

Сначала сложим два числа:

$$a + b = (1 — \sqrt{2}) + (5 + \sqrt{2})$$

Теперь сгруппируем однотипные элементы:

$$a + b = (1 + 5) + (-\sqrt{2} + \sqrt{2})$$

Видим, что $-\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ сокращаются:

$$a + b = 6 + 0 = 6$$

Таким образом, сумма $a + b = 6$ является рациональным числом, так как 6 — это целое число.

Ответ: Сумма $a + b = 6$, что является рациональным числом.

б) Их разность — рациональное число

Нам нужно найти два иррациональных числа, разность которых является рациональной.

Дано:

• $a = \sqrt{7}$
• $b = \sqrt{7} — 9$

Решение:

Вычтем $b$ из $a$:

$$a — b = \sqrt{7} — (\sqrt{7} — 9)$$

Теперь раскроем скобки:

$$a — b = \sqrt{7} — \sqrt{7} + 9$$

Члены $\sqrt{7}$ и $-\sqrt{7}$ сокращаются:

$$a — b = 0 + 9 = 9$$

Таким образом, разность $a — b = 9$ является рациональным числом, так как 9 — это целое число.

Ответ: Разность $a — b = 9$, что является рациональным числом.

в) Их произведение — рациональное число

Нам нужно найти два иррациональных числа, произведение которых является рациональным.

Дано:

• $a = \sqrt{45}$
• $b = \sqrt{5}$

Решение:

Перемножим два числа:

$$a \cdot b = \sqrt{45} \cdot \sqrt{5}$$

Используем свойство корней: $\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{m \cdot n}$:

$$a \cdot b = \sqrt{45 \cdot 5}$$

Теперь умножим 45 и 5:

$$a \cdot b = \sqrt{225}$$

Корень из 225 равен 15:

$$a \cdot b = 15$$

Таким образом, произведение $a \cdot b = 15$ является рациональным числом, так как 15 — это целое число.

Ответ: Произведение $a \cdot b = 15$, что является рациональным числом.

г) Их частное — рациональное число

Нам нужно найти два иррациональных числа, частное которых является рациональным.

Дано:

• $a = \sqrt{98}$
• $b = \sqrt{2}$

Решение:

Разделим $a$ на $b$:

$$\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}$$

Используем свойство корней: $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{m}{n}}$:

$$\frac{a}{b} = \sqrt{\frac{98}{2}}$$

Теперь вычислим $\frac{98}{2}$:

$$\frac{98}{2} = 49$$

Корень из 49 равен 7:

$$\frac{a}{b} = \sqrt{49} = 7$$

Таким образом, частное $\frac{a}{b} = 7$ является рациональным числом, так как 7 — это целое число.

Ответ: Частное $\frac{a}{b} = 7$, что является рациональным числом.