ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Какое из данных чисел является иррациональным:

а) $2,(2345)$

б) $\sqrt{0,(4)}$

в) $\sqrt{1,96}$

г) $\sqrt{19,6}$

Какое из данных чисел является иррациональным:

а) $2,(2345)$ — бесконечная периодическая дробь;
Ответ: рациональное.

б) $\sqrt{0,(4)} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ — несократимая дробь;
Ответ: рациональное.

в) $\sqrt{1,96} = \sqrt{\frac{196}{100}} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$ — несократимая дробь;
Ответ: рациональное.

г) $\sqrt{19,6} = \sqrt{\frac{196}{10}} = \frac{14}{\sqrt{10}} = \frac{14}{\sqrt{2 \cdot 5}}$;
Частное рационального и иррационального чисел;
Ответ: иррациональное.

а) $2,(2345)$ — бесконечная периодическая дробь

Анализ:

Запишем число $2,(2345)$ как $2.234523452345…$, где периодом является «2345». Это число — бесконечная периодическая дробь, что означает, что его десятичная запись состоит из повторяющегося блока цифр «2345».

Доказательство, что это рациональное число:

Периодическая десятичная дробь всегда является рациональным числом. Для того чтобы доказать это, мы можем представить число $2,(2345)$ в виде обыкновенной дроби. Например, можно воспользоваться методом представления периодической дроби как конечной и бесконечной дробной части. Преобразования такие числа всегда можно записать в виде обыкновенной дроби, что делает их рациональными.

Ответ: Это число является рациональным.

б) $\sqrt{0,(4)} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ — несократимая дробь

Анализ:

Запишем $\sqrt{0,(4)}$. Число $0,(4)$ — это бесконечная периодическая дробь $0.44444…$, и его можно записать как обыкновенную дробь:

$$0,(4) = \frac{4}{9}.$$

Теперь берем квадратный корень из этой дроби:

$$\sqrt{0,(4)} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}.$$

Это число $\frac{2}{3}$ — рациональное, так как это конечная дробь.

Ответ: Это число является рациональным.

в) $\sqrt{1,96} = \sqrt{\frac{196}{100}} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$ — несократимая дробь

Анализ:

Число $\sqrt{1,96}$ — это корень из десятичной дроби $1.96$. Мы можем представить его как обыкновенную дробь:

$$1,96 = \frac{196}{100}.$$

Теперь извлекаем квадратный корень из этой дроби:

$$\sqrt{1,96} = \sqrt{\frac{196}{100}} = \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{100}} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}.$$

Число $\frac{7}{5}$ — это конечная дробь, следовательно, оно рациональное.

Ответ: Это число является рациональным.

г) $\sqrt{19,6} = \sqrt{\frac{196}{10}} = \frac{14}{\sqrt{10}} = \frac{14}{\sqrt{2 \cdot 5}}$; Частное рационального и иррационального чисел

Анализ:

Запишем $\sqrt{19,6}$. Это число можно выразить как:

$$19,6 = \frac{196}{10}.$$

Теперь извлекаем квадратный корень из этой дроби:

$$\sqrt{19,6} = \sqrt{\frac{196}{10}} = \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{10}} = \frac{14}{\sqrt{10}}.$$

Здесь $\sqrt{10}$ — иррациональное число, поскольку корень из 10 не является целым числом и не может быть точно представлен в виде конечной или периодической десятичной дроби. Таким образом, выражение $\frac{14}{\sqrt{10}}$ представляет собой частное рационального числа $14$ и иррационального числа $\sqrt{10}$.

Доказательство, что результат иррационален:

Частное рационального и иррационального чисел всегда является иррациональным. Это следует из того, что если бы оно было рациональным, то иррациональное число $\sqrt{10}$ следовало бы быть рациональным, что противоречит нашему предположению.

Ответ: Это число является иррациональным.

Итог:

1. $2,(2345)$ — рациональное.
2. $\sqrt{0,(4)} = \frac{2}{3}$ — рациональное.
3. $\sqrt{1,96} = \frac{7}{5}$ — рациональное.
4. $\sqrt{19,6} = \frac{14}{\sqrt{10}}$ — иррациональное.

Таким образом, из приведенных чисел только $\sqrt{19,6}$ является иррациональным.