ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Используя результат 3.1, докажите иррациональность числа:

а) $5\sqrt{2}$

б) $-7\sqrt{3}$

в) $5(1-\sqrt{3})$

г) $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12}$

Доказать иррациональность числа, используя результаты задачи 3.1;

а) $5\sqrt{2}$;

Допустим $5\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$, тогда:

$$5\sqrt{2} = k, \text{ где } k \in \mathbb{Q};$$ $$\sqrt{2} = \frac{k}{5} \in \mathbb{Q};$$

Но известно, что $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$, значит число $5\sqrt{2}$ иррационально, что и требовалось доказать.

б) $-7\sqrt{3}$;

Допустим $-7\sqrt{3} \in \mathbb{Q}$, тогда:

$$-7\sqrt{3} = k, \text{ где } k \in \mathbb{Q};$$ $$\sqrt{3} = -\frac{k}{7} \in \mathbb{Q};$$

Но известно, что $\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}$, значит число $-7\sqrt{3}$ иррационально, что и требовалось доказать.

в) $5(1 — \sqrt{3})$;

Допустим $5(1 — \sqrt{3}) \in \mathbb{Q}$, тогда:

$$5(1 — \sqrt{3}) = k, \text{ где } k \in \mathbb{Q};$$ $$1 — \sqrt{3} = \frac{k}{5} \in \mathbb{Q};$$

Но известно, что $(1 — \sqrt{3}) \notin \mathbb{Q}$, значит число $5(1 — \sqrt{3})$ иррационально, что и требовалось доказать.

г) $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12}$;

Допустим $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12} \in \mathbb{Q}$, тогда:

$$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12} = k, \text{ где } k \in \mathbb{Q};$$ $$\sqrt{3} + \sqrt{15} = 12k \in \mathbb{Q};$$

Но известно, что $(\sqrt{3} + \sqrt{15}) \notin \mathbb{Q}$, значит число $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12}$ иррационально, что и требовалось доказать.

а) Доказательство иррациональности $5\sqrt{2}$

Шаг 1: Допустим, что $5\sqrt{2}$ рационально.

Предположим, что число $5\sqrt{2}$ является рациональным, то есть его можно выразить как обыкновенную дробь:

$$5\sqrt{2} = k, \quad \text{где } k \in \mathbb{Q}.$$

Это означает, что $k$ — некоторое рациональное число.

Шаг 2: Изолируем $\sqrt{2}$.

Для этого разделим обе части уравнения на 5:

$$\sqrt{2} = \frac{k}{5}.$$

Теперь, если $k$ рационально, то и $\frac{k}{5}$ также рационально, так как рациональное число делится на целое число и остаётся рациональным.

Шаг 3: Противоречие.

Мы знаем, что $\sqrt{2}$ является иррациональным числом (это доказано в предыдущей задаче). Однако, по предположению, $\sqrt{2}$ оказалось рациональным числом, так как $\frac{k}{5} \in \mathbb{Q}$. Это противоречие, так как $\sqrt{2}$ не может быть одновременно иррациональным и рациональным.

Шаг 4: Заключение.

Поскольку наше предположение привело к противоречию, то оно неверно. Следовательно, $5\sqrt{2}$ — иррациональное число.

Ответ: $5\sqrt{2}$ — иррациональное число.

б) Доказательство иррациональности $-7\sqrt{3}$

Шаг 1: Допустим, что $-7\sqrt{3}$ рационально.

Предположим, что число $-7\sqrt{3}$ является рациональным, то есть:

$$-7\sqrt{3} = k, \quad \text{где } k \in \mathbb{Q}.$$

Шаг 2: Изолируем $\sqrt{3}$.

Чтобы выразить $\sqrt{3}$, разделим обе части уравнения на $-7$:

$$\sqrt{3} = -\frac{k}{7}.$$

Поскольку $k \in \mathbb{Q}$, то и $-\frac{k}{7} \in \mathbb{Q}$, так как дробь с рациональным числителем и знаменателем также рациональна.

Шаг 3: Противоречие.

Однако известно, что $\sqrt{3}$ — иррациональное число (это также было доказано в предыдущей задаче). Это приводит к противоречию, так как мы получили, что $\sqrt{3}$ равно рациональному числу $-\frac{k}{7}$.

Шаг 4: Заключение.

Поскольку наше предположение привело к противоречию, оно неверно. Следовательно, $-7\sqrt{3}$ — иррациональное число.

Ответ: $-7\sqrt{3}$ — иррациональное число.

в) Доказательство иррациональности $5(1 — \sqrt{3})$

Шаг 1: Допустим, что $5(1 — \sqrt{3})$ рационально.

Предположим, что $5(1 — \sqrt{3})$ является рациональным числом, то есть:

$$5(1 — \sqrt{3}) = k, \quad \text{где } k \in \mathbb{Q}.$$

Шаг 2: Изолируем $1 — \sqrt{3}$.

Поделим обе части уравнения на 5:

$$1 — \sqrt{3} = \frac{k}{5}.$$

Так как $k$ — рациональное число, то $\frac{k}{5}$ также рационально, следовательно, $1 — \sqrt{3}$ рационально.

Шаг 3: Изолируем $\sqrt{3}$.

Теперь из этого уравнения выражаем $\sqrt{3}$:

$$\sqrt{3} = 1 — \frac{k}{5}.$$

Так как $1$ и $\frac{k}{5}$ — рациональные числа, их разность также рациональна. Это означает, что $\sqrt{3}$ — рациональное число.

Шаг 4: Противоречие.

Однако $\sqrt{3}$ — иррациональное число, что является противоречием, так как мы доказали, что $\sqrt{3}$ не может быть одновременно рациональным и иррациональным.

Шаг 5: Заключение.

Поскольку предположение привело к противоречию, оно неверно. Следовательно, $5(1 — \sqrt{3})$ — иррациональное число.

Ответ: $5(1 — \sqrt{3})$ — иррациональное число.

г) Доказательство иррациональности $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12}$

Шаг 1: Допустим, что $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12}$ рационально.

Предположим, что $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12}$ является рациональным числом, то есть:

$$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12} = k, \quad \text{где } k \in \mathbb{Q}.$$

Шаг 2: Умножим обе части на 12.

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части на 12:

$$\sqrt{3} + \sqrt{15} = 12k.$$

Шаг 3: Противоречие.

Очевидно, что сумма двух иррациональных чисел, таких как $\sqrt{3}$ и $\sqrt{15}$, не может быть рациональным числом. Если бы $\sqrt{3} + \sqrt{15} = 12k$ было рациональным числом, то это привело бы к противоречию, так как левая часть выражения является суммой иррациональных чисел.

Шаг 4: Заключение.

Поскольку наше предположение привело к противоречию, оно неверно. Следовательно, $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12}$ — иррациональное число.

Ответ: $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12}$ — иррациональное число.

Итог:

1. $5\sqrt{2}$ — иррациональное число.
2. $-7\sqrt{3}$ — иррациональное число.
3. $5(1 — \sqrt{3})$ — иррациональное число.
4. $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12}$ — иррациональное число.