ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти хотя бы одну точку $(x; y)$, имеющую иррациональные координаты, лежащую на прямой:

а) $y = 5x — 2$;

б) $y = \frac{x}{7} + 2$

Найти хотя бы одну точку $(x; y)$, имеющую иррациональные координаты, лежащую на прямой:

а) $y = 5x — 2$;

Допустим, что число $x \notin \mathbb{Q}$, а число $y \in \mathbb{Q}$, тогда:

$$5x = y + 2;$$ $$x = \frac{y + 2}{5} \in \mathbb{Q}.$$

Возникло противоречие, значит если $x \notin \mathbb{Q}$, то $y \notin \mathbb{Q}$, тогда $x$ может быть любым иррациональным числом, например:

$$x = \sqrt{7} \text{ и } y = 5\sqrt{7} — 2;$$

Ответ: $\left( \sqrt{7}; 5\sqrt{7} — 2 \right)$.

б) $y = \frac{x}{7} + 2$;

Допустим, что число $x \notin \mathbb{Q}$, а число $y \in \mathbb{Q}$, тогда:

$$\frac{x}{7} = y — 2;$$ $$x = 7(y — 2) \in \mathbb{Q}.$$

Возникло противоречие, значит если $x \notin \mathbb{Q}$, то $y \notin \mathbb{Q}$, тогда $x$ может быть любым иррациональным числом, например:

$$x = \sqrt{3} \text{ и } y = \frac{\sqrt{3}}{7} + 2;$$

Ответ: $\left( \sqrt{3}; \frac{\sqrt{3}}{7} + 2 \right)$.

Найти хотя бы одну точку $(x; y)$, имеющую иррациональные координаты, лежащую на прямой:

а) $y = 5x — 2$

Шаг 1. Рассмотрим уравнение прямой:

У нас дано уравнение прямой:

$$y = 5x — 2.$$

Нам нужно найти такую точку $(x, y)$, где $x$ и $y$ — иррациональные числа.

Шаг 2. Допустим, что $x$ — иррациональное число, а $y$ — рациональное число.

Допустим, что $x \notin \mathbb{Q}$ (то есть $x$ — иррациональное число), а $y \in \mathbb{Q}$ (то есть $y$ — рациональное число). Тогда подставим $y = 5x — 2$ в уравнение:

$$5x = y + 2.$$

Теперь выразим $x$ через $y$:

$$x = \frac{y + 2}{5}.$$

Поскольку $y \in \mathbb{Q}$ (рациональное число), то и $\frac{y + 2}{5}$ будет рациональным числом. Однако это противоречит предположению, что $x$ иррационально.

Шаг 3. Противоречие.

Мы пришли к противоречию, так как если $x$ иррационально, то $y$ также должно быть иррациональным. Таким образом, если $x$ иррационально, то и $y$ будет иррациональным.

Шаг 4. Пример иррациональных значений для $x$ и $y$:

Теперь, когда мы знаем, что $x$ и $y$ должны быть иррациональными, мы можем выбрать любое иррациональное значение для $x$, а $y$ вычислим по уравнению.

Возьмем $x = \sqrt{7}$ — это иррациональное число. Подставим его в уравнение:

$$y = 5x — 2 = 5\sqrt{7} — 2.$$

Это значение для $y$ также иррационально, так как $5\sqrt{7}$ — это иррациональное число, и вычитание рационального числа (2) из иррационального не изменяет иррациональности.

Шаг 5. Проверка:

Подставим $x = \sqrt{7}$ в уравнение:

$$y = 5\sqrt{7} — 2.$$

Мы видим, что $x = \sqrt{7}$ и $y = 5\sqrt{7} — 2$ — это оба иррациональные числа.

Ответ: Точка с иррациональными координатами $\left( \sqrt{7}; 5\sqrt{7} — 2 \right)$.

б) $y = \frac{x}{7} + 2$

Шаг 1. Рассмотрим уравнение прямой:

У нас дано уравнение прямой:

$$y = \frac{x}{7} + 2.$$

Нам нужно найти точку $(x, y)$, где $x$ и $y$ — иррациональные числа.

Шаг 2. Допустим, что $x$ — иррациональное число, а $y$ — рациональное число.

Допустим, что $x \notin \mathbb{Q}$ (то есть $x$ — иррациональное число), а $y \in \mathbb{Q}$ (то есть $y$ — рациональное число). Подставим это в уравнение:

$$y = \frac{x}{7} + 2.$$

Теперь выразим $x$:

$$\frac{x}{7} = y — 2,$$ $$x = 7(y — 2).$$

Мы видим, что если $y \in \mathbb{Q}$, то $x = 7(y — 2)$ будет рациональным числом, так как $y — 2$ — это рациональное число, а умножение рационального числа на 7 также дает рациональное число. Однако это противоречит предположению, что $x$ иррационально.

Шаг 3. Противоречие.

Мы пришли к противоречию, так как если $x$ иррационально, то $y$ также должно быть иррациональным.

Шаг 4. Пример иррациональных значений для $x$ и $y$:

Теперь, когда мы знаем, что $x$ и $y$ должны быть иррациональными, мы можем выбрать любое иррациональное значение для $x$, а $y$ вычислим по уравнению.

Возьмем $x = \sqrt{3}$ — это иррациональное число. Подставим его в уравнение:

$$y = \frac{\sqrt{3}}{7} + 2.$$

Это значение для $y$ также иррационально, так как дробь $\frac{\sqrt{3}}{7}$ является иррациональной, и прибавление рационального числа (2) не изменяет иррациональности.

Шаг 5. Проверка:

Подставим $x = \sqrt{3}$ в уравнение:

$$y = \frac{\sqrt{3}}{7} + 2.$$

Мы видим, что $x = \sqrt{3}$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{7} + 2$ — это оба иррациональные числа.

Ответ: Точка с иррациональными координатами $\left( \sqrt{3}; \frac{\sqrt{3}}{7} + 2 \right)$.

Итоговые ответы:

• а) Точка с иррациональными координатами $\left( \sqrt{7}; 5\sqrt{7} — 2 \right)$
• б) Точка с иррациональными координатами $\left( \sqrt{3}; \frac{\sqrt{3}}{7} + 2 \right)$