ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите хотя бы одну точку $(x; y)$, имеющую рациональные координаты, лежащую на прямой:

а) $y = x(\sqrt{2} + 1) — 2$;

б) $y = \frac{x}{\sqrt[3]{2}} — 2$

Найти точку $(x; y)$, имеющую рациональные координаты, лежащую на прямой:

а) $y = x(\sqrt{2} + 1) — 2$;

Допустим, что число $x$ не равно нулю, тогда:

$$x(\sqrt{2} + 1) = y + 2;$$ $$\sqrt{2} + 1 = \frac{y + 2}{x};$$ $$\sqrt{2} = \left( \frac{y + 2}{x} — 1 \right) \in \mathbb{Q};$$

Возникло противоречие, значит есть только одно решение:

$$x = 0;$$ $$y = 0 \cdot (\sqrt{2} + 1) — 2 = 0 — 2 = -2;$$

Ответ: $(0; -2)$.

б) $y = \frac{x}{\sqrt[3]{2}} — 2$;

Допустим, что число $x$ не равно нулю, тогда:

$$\frac{x}{\sqrt[3]{2}} = y + 2;$$ $$\sqrt[3]{2}(y + 2) = x;$$ $$\sqrt[3]{2} = \frac{x}{y + 2} \in \mathbb{Q};$$

Возникло противоречие, значит есть только одно решение:

$$x = 0;$$ $$y = \frac{0}{\sqrt[3]{2}} — 2 = -2;$$

Ответ: $(0; -2)$.

Найти точку $(x; y)$, имеющую рациональные координаты, лежащую на прямой:

а) $y = x(\sqrt{2} + 1) — 2$;

Шаг 1. Запишем уравнение прямой:

У нас есть уравнение прямой:

$$y = x(\sqrt{2} + 1) — 2.$$

Мы ищем точку $(x, y)$, где $x$ и $y$ — рациональные числа.

Шаг 2. Допустим, что $x \neq 0$:

Пусть $x \neq 0$. Тогда мы можем выразить $y$ через $x$:

$$y = x(\sqrt{2} + 1) — 2.$$

Шаг 3. Попробуем выразить $\sqrt{2}$ через рациональные числа:

Преобразуем уравнение:

$$y + 2 = x(\sqrt{2} + 1),$$ $$\sqrt{2} + 1 = \frac{y + 2}{x}.$$

Теперь мы видим, что $\sqrt{2} + 1$ выражается как отношение рациональных чисел $\frac{y + 2}{x}$, если и только если $\sqrt{2}$ также является рациональным числом.

Однако мы знаем, что $\sqrt{2}$ — это иррациональное число, то есть $\frac{y + 2}{x}$ не может быть рациональным числом, так как сумма рационального числа и $\sqrt{2}$ всегда будет иррациональной. Это приводит нас к противоречию.

Шаг 4. Сделаем вывод, что $x = 0$:

Поскольку при $x \neq 0$ возникает противоречие, единственным возможным решением остается $x = 0$.

Шаг 5. Подставим $x = 0$ в уравнение прямой для нахождения $y$:

Подставим $x = 0$ в исходное уравнение:

$$y = 0(\sqrt{2} + 1) — 2 = -2.$$

Ответ: Точка с рациональными координатами — $(0, -2)$.

б) $y = \frac{x}{\sqrt[3]{2}} — 2$;

Шаг 1. Запишем уравнение прямой:

У нас есть уравнение прямой:

$$y = \frac{x}{\sqrt[3]{2}} — 2.$$

Наша цель — найти точку $(x, y)$, где $x$ и $y$ являются рациональными числами.

Шаг 2. Допустим, что $x \neq 0$:

Предположим, что $x \neq 0$. Тогда выражаем $y$ через $x$:

$$y = \frac{x}{\sqrt[3]{2}} — 2.$$

Шаг 3. Попробуем выразить $\sqrt[3]{2}$ через рациональные числа:

Преобразуем уравнение:

$$y + 2 = \frac{x}{\sqrt[3]{2}},$$ $$\sqrt[3]{2} = \frac{x}{y + 2}.$$

Здесь, как и в предыдущем случае, если $\sqrt[3]{2}$ можно выразить через рациональные числа, то $\frac{x}{y + 2}$ должно быть рациональным. Однако мы знаем, что $\sqrt[3]{2}$ — это иррациональное число, так что $\frac{x}{y + 2}$ не может быть рациональным.

Это приводит нас к противоречию, так как $\sqrt[3]{2}$ не может быть рациональным числом.

Шаг 4. Сделаем вывод, что $x = 0$:

Поскольку при $x \neq 0$ возникает противоречие, единственным возможным решением остается $x = 0$.

Шаг 5. Подставим $x = 0$ в уравнение прямой для нахождения $y$:

Подставим $x = 0$ в исходное уравнение:

$$y = \frac{0}{\sqrt[3]{2}} — 2 = -2.$$

Ответ: Точка с рациональными координатами — $(0, -2)$.

Итоговые ответы:

• а) Точка с рациональными координатами: $(0, -2)$
• б) Точка с рациональными координатами: $(0, -2)$