ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите хотя бы одно рациональное число, расположенное на отрезке:

а) $[ \sqrt{2}; \sqrt{3} ]$;

б) $[ \sqrt{3} — \sqrt{2}; \sqrt{3} + \sqrt{2} ]$;

в) $[ \sqrt{5} — 2; 2,236 ]$;

г) $[ \sqrt{3} + \sqrt{5}; 3,(9) ]$

Найти хотя бы одно рациональное число, расположенное на отрезке:

а) $[ \sqrt{2}; \sqrt{3} ]$;

Границы чисел:

$$200 < 225 \quad => \quad \sqrt{200} < 15 \quad => \quad \sqrt{2} < 1,5;$$ $$300 > 289 \quad => \quad \sqrt{300} > 17 \quad => \quad \sqrt{3} > 1,7;$$

Диапазон искомых чисел:

$$\sqrt{2} < x < \sqrt{3};$$ $$1,5 < x < 1,7;$$

Ответ: $x = 1,53$.

б) $[ \sqrt{3} — \sqrt{2}; \sqrt{3} + \sqrt{2} ]$;

Границы чисел:

$$196 < 200 < 225 \quad => \quad 14 < \sqrt{200} < 15 \quad => \quad 1,4 < \sqrt{2} < 1,5;$$ $$289 < 300 < 324 \quad => \quad 17 < \sqrt{300} < 18 \quad => \quad 1,7 < \sqrt{3} < 1,8;$$ $$\sqrt{3} — \sqrt{2} < 1,8 — 1,4 \quad => \quad \sqrt{3} — \sqrt{2} < 0,4;$$ $$\sqrt{3} + \sqrt{2} > 1,4 + 1,7 \quad => \quad \sqrt{3} + \sqrt{2} > 3,1;$$

Диапазон искомых чисел:

$$\sqrt{3} — \sqrt{2} < x \leqslant \sqrt{3} + \sqrt{2};$$ $$0,4 < x < 3,1;$$

Ответ: $x = 2,5$.

в) $[ \sqrt{5} — 2; 2,236 ]$;

Границы чисел:

$$500 < 529 \quad => \quad \sqrt{500} < 23 \quad => \quad \sqrt{5} < 2,3;$$ $$\sqrt{5} — 2 < 2,3 — 2 \quad => \quad \sqrt{5} — 2 < 0,3;$$

Диапазон искомых чисел:

$$\sqrt{5} — 2 < x < 2,236;$$ $$0,3 < x < 2,236;$$

Ответ: $x = 0,769$.

г) $[ \sqrt{3} + \sqrt{5}; 3,(9) ]$;

Границы чисел:

$$30\,000 < 30\,276 \quad => \quad \sqrt{30\,000} < 174 \quad => \quad \sqrt{3} < 1,74;$$ $$50\,000 < 50\,176 \quad => \quad \sqrt{50\,000} < 224 \quad => \quad \sqrt{5} < 2,24;$$ $$\sqrt{3} + \sqrt{5} < 1,74 + 2,24 \quad => \quad \sqrt{3} + \sqrt{5} < 3,98;$$

Диапазон искомых чисел:

$$\sqrt{3} + \sqrt{5} < x \leqslant 3,(9);$$ $$3,98 < x < 3,999(9);$$

Ответ: $x = 3,987$.

Найти хотя бы одно рациональное число, расположенное на отрезке:

а) $[ \sqrt{2}; \sqrt{3} ]$

Шаг 1. Рассмотрим границы чисел.

Нам нужно найти рациональное число на отрезке $[ \sqrt{2}, \sqrt{3} ]$, то есть найти число $x$, которое лежит между $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$.

Для этого начнем с приближенного вычисления значений $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$. Мы будем использовать приближенные значения для упрощения вычислений.

• $\sqrt{2} \approx 1.414$.
• $\sqrt{3} \approx 1.732$.

Это можно проверить с помощью квадратов этих чисел:

$$\sqrt{2} \approx 1.414 \quad \Rightarrow \quad 1.414^2 \approx 2.$$ $$\sqrt{3} \approx 1.732 \quad \Rightarrow \quad 1.732^2 \approx 3.$$

Теперь мы знаем, что:

$$1.414 < \sqrt{2} < 1.5 \quad \text{и} \quad 1.7 < \sqrt{3} < 1.732.$$

Шаг 2. Найдем диапазон чисел.

Нам нужно найти рациональное число $x$, которое лежит в пределах:

$$\sqrt{2} < x < \sqrt{3}.$$

Из полученных оценок:

$$1.5 < x < 1.7.$$

Теперь, очевидно, что в этом диапазоне есть множество рациональных чисел, например, $x = 1.53$, так как оно лежит строго между $1.5$ и $1.7$.

Ответ: $x = 1.53$.

б) $[ \sqrt{3} — \sqrt{2}; \sqrt{3} + \sqrt{2} ]$

Шаг 1. Рассмотрим границы чисел.

Теперь рассматриваем отрезок $[ \sqrt{3} — \sqrt{2}, \sqrt{3} + \sqrt{2} ]$. Для этого начнем с вычисления значений $\sqrt{3} — \sqrt{2}$ и $\sqrt{3} + \sqrt{2}$.

• Из предыдущих оценок знаем, что $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $\sqrt{3} \approx 1.732$.

Теперь вычислим границы отрезка:

$$\sqrt{3} — \sqrt{2} \approx 1.732 — 1.414 = 0.318,$$ $$\sqrt{3} + \sqrt{2} \approx 1.732 + 1.414 = 3.146.$$

Таким образом, наш отрезок $[ \sqrt{3} — \sqrt{2}, \sqrt{3} + \sqrt{2} ]$ имеет границы:

$$0.318 < x < 3.146.$$

Шаг 2. Найдем диапазон чисел.

Нам нужно найти рациональное число $x$, которое лежит в пределах $[0.318, 3.146]$. Очевидно, что числа вроде $x = 2.5$ лежат на этом отрезке, поскольку:

$$0.318 < 2.5 < 3.146.$$

Ответ: $x = 2.5$.

в) $[ \sqrt{5} — 2; 2.236 ]$

Шаг 1. Рассмотрим границы чисел.

Теперь рассматриваем отрезок $[ \sqrt{5} — 2, 2.236 ]$. Начнем с приближенного вычисления значений $\sqrt{5} — 2$ и $2.236$.

• $\sqrt{5} \approx 2.236$.

Вычитаем 2 из этого значения:

$$\sqrt{5} — 2 \approx 2.236 — 2 = 0.236.$$

Таким образом, наш отрезок $[ \sqrt{5} — 2, 2.236 ]$ имеет границы:

$$0.236 < x < 2.236.$$

Шаг 2. Найдем диапазон чисел.

Нам нужно найти рациональное число $x$, которое лежит в пределах $[0.236, 2.236]$. Очевидно, что число $x = 0.769$ подходит, поскольку:

$$0.236 < 0.769 < 2.236.$$

Ответ: $x = 0.769$.

г) $[ \sqrt{3} + \sqrt{5}; 3.(9) ]$

Шаг 1. Рассмотрим границы чисел.

Нам нужно найти рациональное число на отрезке $[ \sqrt{3} + \sqrt{5}, 3.(9) ]$, где $3.(9)$ — это периодическая дробь, эквивалентная $4$.

Для этого начнем с вычисления значений $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ и $3.(9)$.

• $\sqrt{3} \approx 1.732$.
• $\sqrt{5} \approx 2.236$.

Сложим эти значения:

$$\sqrt{3} + \sqrt{5} \approx 1.732 + 2.236 = 3.968.$$

Таким образом, наш отрезок $[ \sqrt{3} + \sqrt{5}, 3.(9) ]$ имеет границы:

$$3.968 < x < 4.$$

Шаг 2. Найдем диапазон чисел.

Нам нужно найти рациональное число $x$, которое лежит в пределах $[3.968, 4]$. Очевидно, что число $x = 3.987$ лежит на этом отрезке, поскольку:

$$3.968 < 3.987 < 4.$$

Ответ: $x = 3.987$.

Итоговые ответы:

• а) $x = 1.53$
• б) $x = 2.5$
• в) $x = 0.769$
• г) $x = 3.987$