ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Докажите, что для любого иррационального числа $\alpha$ найдется такое иррациональное число $\beta$, что произведение $\alpha \beta$ — рациональное число.

б) Докажите, что если точка $(x; y)$ лежит на прямой $y = kx + b$, где $k \neq 0$, $b$ — рациональные числа, то числа $x$ и $y$ или оба рациональные, или оба иррациональные.

а) Доказать, что для любого иррационального числа $\alpha$ найдется такое иррациональное число $\beta$, что произведение $\alpha \beta$ — рациональное число;

1. Пусть $\beta = \frac{k}{\alpha}$, где $k$ — произвольное рациональное число;
2. Допустим число $\beta$ также является рациональным, тогда:
   $\alpha = \frac{\beta}{k} \in \mathbb{Q};$
3. Возникло противоречие, значит число $\beta$ — иррациональное, тогда:
   $\alpha \cdot \beta = k \in \mathbb{Q},$
   что и требовалось доказать.

б) Доказать, что если точка $(x; y)$ лежит на прямой $y = kx + b$, где $k \neq 0$, $b$ — рациональные числа, то числа $x$ и $y$ или оба рациональные, или оба иррациональные;

1. Допустим, что число $x \in \mathbb{Q}$, а число $y \notin \mathbb{Q}$, тогда:
   $y = (kx + b) \in \mathbb{Q};$
2. Допустим, что число $x \notin \mathbb{Q}$, а число $y \in \mathbb{Q}$, тогда:
   $y = kx + b;$
   $kx = y — b;$
   $x = \frac{y — b}{k} \in \mathbb{Q};$
3. В обоих случаях возникает противоречие, значит либо оба числа $x$ и $y$ рациональные, либо оба иррациональные, что и требовалось доказать.

а) Доказать, что для любого иррационального числа $\alpha$ найдется такое иррациональное число $\beta$, что произведение $\alpha \beta$ — рациональное число.

Шаг 1. Пусть $\alpha$ — иррациональное число. Мы должны найти иррациональное число $\beta$, при котором произведение $\alpha \beta$ будет рациональным.

Для этого возьмем $\beta = \frac{k}{\alpha}$, где $k$ — произвольное рациональное число. Мы утверждаем, что $\alpha \cdot \beta = k$ будет рациональным числом, так как $k$ — рациональное.

Шаг 2. Рассмотрим произведение $\alpha \cdot \beta$:

$$\alpha \cdot \beta = \alpha \cdot \frac{k}{\alpha} = k.$$

Как мы видим, произведение $\alpha \cdot \beta$ равно $k$, а поскольку $k$ — рациональное число, то $\alpha \cdot \beta \in \mathbb{Q}$.

Шаг 3. Рассмотрим, что происходит с $\beta$:

Мы видим, что $\beta = \frac{k}{\alpha}$ является делением рационального числа $k$ на иррациональное число $\alpha$. Деление рационального числа на иррациональное число всегда дает иррациональное число, так как результат деления рационального на иррациональное не может быть рациональным.

Таким образом, $\beta$ является иррациональным числом.

Шаг 4. Заключение:

Мы нашли, что для любого иррационального числа $\alpha$ можно выбрать такое иррациональное число $\beta = \frac{k}{\alpha}$, что произведение $\alpha \cdot \beta = k$ будет рациональным числом. Значит, утверждение доказано.

б) Доказать, что если точка $(x; y)$ лежит на прямой $y = kx + b$, где $k \neq 0$, $b$ — рациональные числа, то числа $x$ и $y$ или оба рациональные, или оба иррациональные.

Шаг 1. Пусть точка $(x; y)$ лежит на прямой $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — рациональные числа. Мы должны доказать, что если $x$ рационально, то и $y$ рационально, а если $x$ иррационально, то и $y$ иррационально.

Для начала рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \in \mathbb{Q}$ (то есть $x$ — рациональное число).

Поскольку $x$ рационально, подставим его в уравнение прямой:

$$y = kx + b.$$

Так как $k$ и $b$ — рациональные числа, а $x$ — рациональное число, то выражение $kx$ будет рациональным (произведение двух рациональных чисел всегда рационально). Сумма рационального числа $kx$ и рационального числа $b$ также будет рациональной, так как сумма двух рациональных чисел всегда рациональна.

Таким образом, если $x \in \mathbb{Q}$, то и $y \in \mathbb{Q}$.

Случай 2: $x \notin \mathbb{Q}$ (то есть $x$ — иррациональное число).

Теперь предположим, что $x$ иррационально. Подставим его в уравнение прямой:

$$y = kx + b.$$

В данном случае $kx$ — это произведение рационального числа $k$ на иррациональное число $x$, а произведение рационального на иррациональное всегда иррационально. Сложив иррациональное число $kx$ с рациональным числом $b$, получаем:

$$y = kx + b \in \mathbb{I}.$$

То есть $y$ также будет иррациональным числом.

Шаг 2. Рассмотрим противоречие:

Теперь рассмотрим, что произойдет, если одно из чисел $x$ или $y$ рационально, а другое — иррационально.

Допустим, $x \in \mathbb{Q}$, а $y \notin \mathbb{Q}$. Подставим $x$ в уравнение прямой:

$$y = kx + b \in \mathbb{Q}.$$

Но это противоречит предположению, что $y$ иррационально. Таким образом, оба числа не могут иметь разные типы — одно рациональное, а другое иррациональное.

Аналогично, допустим, что $x \notin \mathbb{Q}$, а $y \in \mathbb{Q}$. Подставим $y$ в уравнение прямой:

$$y = kx + b \quad \Rightarrow \quad kx = y — b \quad \Rightarrow \quad x = \frac{y — b}{k}.$$

Так как $y \in \mathbb{Q}$ и $b \in \mathbb{Q}$, то разность $y — b$ будет рациональной, а так как $k \in \mathbb{Q}$, то деление рационального числа на рациональное (при $k \neq 0$) всегда дает рациональное число. Следовательно, $x$ будет рациональным, что противоречит предположению, что $x$ иррационально.

Шаг 3. Заключение:

Таким образом, в обоих случаях возникает противоречие, и мы приходим к заключению, что либо оба числа $x$ и $y$ рациональные, либо оба иррациональные.

Значит, утверждение доказано.