ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что существует такое иррациональное число а, что число с является натуральным:

а) $c = a + \frac{1}{a}$;

б) $c = a^2 + a$

Доказать, что существует иррациональное число $a$, что число $c$ является натуральным:

а) $c = a + \frac{1}{a}$;

Выразим значение числа $a$ через $c$:

$$c = \frac{a^2 + 1}{a};$$ $$ca = a^2 + 1;$$ $$a^2 — ca + 1 = 0;$$ $$D = c^2 — 4, \text{тогда:}$$ $$a = \frac{c \pm \sqrt{c^2 — 4}}{2};$$

Докажем приведением примера такого числа:

$$a = \frac{6 \pm \sqrt{6^2 — 4}}{2} = \frac{6 — \sqrt{32}}{2} = \frac{6 — 2\sqrt{8}}{2} = 3 — \sqrt{8};$$ $$c = 3 — \sqrt{8} + \frac{1}{3 — \sqrt{8}} = \frac{(3 — \sqrt{8})^2 + 1}{3 — \sqrt{8}} = \frac{9 — 6\sqrt{8} + 8 + 1}{3 — \sqrt{8}} = \frac{6(3 — \sqrt{8})}{3 — \sqrt{8}} = 6;$$

Утверждение доказано.

б) $c = a^2 + a$;

Выразим значение числа $a$ через $c$:

$$a^2 + a — c = 0;$$ $$D = 1^2 + 4c = 1 + 4c;$$ $$a = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4c}}{2};$$

Докажем приведением примера такого числа:

$$a = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4 \cdot 5}}{2} = \frac{\sqrt{21} — 1}{2};$$ $$c = \left( \frac{\sqrt{21} — 1}{2} \right)^2 + \frac{\sqrt{21} — 1}{2} = \frac{21 — 2\sqrt{21} + 1}{4} + \frac{2\sqrt{21} — 2}{4} = \frac{20}{4} = 5;$$

Утверждение доказано.

Доказать, что существует иррациональное число $a$, что число $c$ является натуральным:

а) $c = a + \frac{1}{a}$

1. Выразим значение числа $a$ через $c$.

Исходное выражение для $c$ имеет вид:

$$c = a + \frac{1}{a}$$

Умножим обе части равенства на $a$, чтобы избавиться от дроби:

$$c \cdot a = a^2 + 1$$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $a$:

$$a^2 — ca + 1 = 0$$

Для решения этого уравнения найдем его дискриминант:

$$D = (-c)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = c^2 — 4$$

Теперь, используя формулу для корней квадратного уравнения, найдём значения $a$:

$$a = \frac{-(-c) \pm \sqrt{c^2 — 4}}{2 \cdot 1} = \frac{c \pm \sqrt{c^2 — 4}}{2}$$

Таким образом, значение $a$ выражается через $c$ как:

$$a = \frac{c \pm \sqrt{c^2 — 4}}{2}$$

Теперь, чтобы доказать существование иррационального числа $a$, рассмотрим конкретное значение $c$.

2. Докажем приведением примера такого числа.

Рассмотрим $c = 6$. Подставим это значение в выражение для $a$:

$$a = \frac{6 \pm \sqrt{6^2 — 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 — 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2}$$

Теперь разделим числитель на 2:

$$a = 3 \pm 2\sqrt{2}$$

Поскольку $\sqrt{2}$ — иррациональное число, то и выражение $a = 3 \pm 2\sqrt{2}$ также является иррациональным числом. Таким образом, $a$ — иррационально.

Теперь вычислим значение $c$ при $a = 3 — 2\sqrt{2}$ (для одного из корней):

$$c = a + \frac{1}{a} = 3 — 2\sqrt{2} + \frac{1}{3 — 2\sqrt{2}}$$

Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение:

$$\frac{1}{3 — 2\sqrt{2}} \cdot \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{(3 — 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})}$$

Используем формулу разности квадратов:

$$(3 — 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 3^2 — (2\sqrt{2})^2 = 9 — 8 = 1$$

Таким образом:

$$\frac{1}{3 — 2\sqrt{2}} = 3 + 2\sqrt{2}$$

Теперь подставим это значение в выражение для $c$:

$$c = 3 — 2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2} = 6$$

Получили, что $c = 6$, что является натуральным числом.

Таким образом, утверждение доказано.

б) $c = a^2 + a$

1. Выразим значение числа $a$ через $c$.

Исходное выражение для $c$ имеет вид:

$$c = a^2 + a$$

Приведём его к стандартному виду для квадратного уравнения:

$$a^2 + a — c = 0$$

Теперь найдём дискриминант этого уравнения:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-c) = 1 + 4c$$

Таким образом, корни уравнения будут равны:

$$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4c}}{2}$$

Теперь рассмотрим конкретное значение $c = 5$, чтобы продемонстрировать, что $a$ может быть иррациональным.

2. Докажем приведением примера такого числа.

Подставим $c = 5$ в формулу для $a$:

$$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 5}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$$

Таким образом, получаем два возможных значения для $a$:

$$a = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \quad \text{или} \quad a = \frac{-1 — \sqrt{21}}{2}$$

Поскольку $\sqrt{21}$ — иррациональное число, оба значения для $a$ являются иррациональными.

Теперь вычислим значение $c$ для $a = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$:

$$c = a^2 + a = \left( \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \right)^2 + \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$$

Сначала вычислим квадрат $a$:

$$\left( \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \right)^2 = \frac{(-1 + \sqrt{21})^2}{4} = \frac{1 — 2\sqrt{21} + 21}{4} = \frac{22 — 2\sqrt{21}}{4} = \frac{11 — \sqrt{21}}{2}$$

Теперь добавим $a$:

$$c = \frac{11 — \sqrt{21}}{2} + \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} = \frac{11 — \sqrt{21} — 1 + \sqrt{21}}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Таким образом, $c = 5$, что является натуральным числом.

Утверждение доказано.